The Limit Laws

en · official · sha256:d6557249fd3c95a568dce717d48526f637ebf5b66d46f777d5a7920059bf86c9

<note id="fs-id1170572451153" class="theorem"> <title>Basic Limit Results</title> <para id="fs-id1170572205248">For any real number <emphasis effect="italics">a</emphasis> and any constant <emphasis effect="italics">c</emphasis>,</para> <list id="fs-id1170572286963" list-type="enumerated" number-style="lower-roman"> <item><equation id="fs-id1170572624896"><m:math><m:mrow><m:munder><m:mrow><m:mtext>lim</m:mtext></m:mrow><m:mrow><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">→</m:mo><m:mi>a</m:mi></m:mrow></m:munder><m:mi>x</m:mi><m:mo>=</m:mo><m:mi>a</m:mi></m:mrow></m:math></equation></item> <item><equation id="fs-id1170572209025"><m:math><m:mrow><m:munder><m:mrow><m:mtext>lim</m:mtext></m:mrow><m:mrow><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">→</m:mo><m:mi>a</m:mi></m:mrow></m:munder><m:mi>c</m:mi><m:mo>=</m:mo><m:mi>c</m:mi></m:mrow></m:math></equation></item> </list> </note>

Referencing norms: JustifyLimitConstant1, JustifyLimitIdentity2

en · official · sha256:6fb336d57b2b7b86b73871299958f821af121fb077d33a6b11d7aa9e108b8b7d

<note id="fs-id1170571611384" class="problem-solving"> <title>Calculating a Limit When <m:math><m:mrow><m:mi>f</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mtext>/</m:mtext><m:mi>g</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow></m:math> has the Indeterminate Form 0/0</title> <list id="fs-id1170572627081" list-type="enumerated" number-style="arabic"> <item>First, we need to make sure that our function has the appropriate form and cannot be evaluated immediately using the limit laws.</item> <item>We then need to find a function that is equal to <m:math><m:mrow><m:mi>h</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>=</m:mo><m:mrow><m:mrow><m:mi>f</m:mi><m:mo stretchy="false">(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">)</m:mo></m:mrow><m:mtext>/</m:mtext><m:mrow><m:mi>g</m:mi><m:mo stretchy="false">(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">)</m:mo></m:mrow></m:mrow></m:mrow></m:math> for all <m:math><m:mrow><m:mi>x</m:mi><m:mo>≠</m:mo><m:mi>a</m:mi></m:mrow></m:math> over some interval containing <emphasis effect="italics">a</emphasis>. To do this, we may need to try one or more of the following steps: <list id="fs-id1170572627147" list-type="enumerated" number-style="lower-alpha"> <item>If <m:math><m:mrow><m:mi>f</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow></m:math> and <m:math><m:mrow><m:mi>g</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow></m:math> are polynomials, we should factor each function and cancel out any common factors.</item> <item>If the numerator or denominator contains a difference involving a square root, we should try multiplying the numerator and denominator by the conjugate of the expression involving the square root.</item> <item>If <m:math><m:mrow><m:mrow><m:mrow><m:mi>f</m:mi><m:mo stretchy="false">(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">)</m:mo></m:mrow><m:mtext>/</m:mtext><m:mrow><m:mi>g</m:mi><m:mo stretchy="false">(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">)</m:mo></m:mrow></m:mrow></m:mrow></m:math> is a complex fraction, we begin by simplifying it.</item> </list></item> <item>Last, we apply the limit laws.</item> </list> </note>

Referencing norms: JustifyFactorAndCancel10

en · official · sha256:e5d5d181fa3559339448bb13eccbbbfaca2ad8095f3518e4f1a1056f6fad491a

<note id="fs-id1170572508800" class="theorem"> <title>Limit Laws</title> <para id="fs-id1170572086164">Let <m:math><m:mrow><m:mi>f</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow></m:math> and <m:math><m:mrow><m:mi>g</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow></m:math> be defined for all <m:math><m:mrow><m:mi>x</m:mi><m:mo>≠</m:mo><m:mi>a</m:mi></m:mrow></m:math> over some open interval containing <emphasis effect="italics">a</emphasis>. Assume that <emphasis effect="italics">L</emphasis> and <emphasis effect="italics">M</emphasis> are real numbers such that <m:math><m:mrow><m:munder><m:mrow><m:mtext>lim</m:mtext></m:mrow><m:mrow><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">→</m:mo><m:mi>a</m:mi></m:mrow></m:munder><m:mi>f</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>=</m:mo><m:mi>L</m:mi></m:mrow></m:math> and <m:math><m:mrow><m:munder><m:mrow><m:mtext>lim</m:mtext></m:mrow><m:mrow><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">→</m:mo><m:mi>a</m:mi></m:mrow></m:munder><m:mi>g</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>=</m:mo><m:mi>M</m:mi><m:mo>.</m:mo></m:mrow></m:math> Let <emphasis effect="italics">c</emphasis> be a constant. Then, each of the following statements holds:</para> <para id="fs-id1170572204187"><term id="term-00002">Sum law for limits</term>: <m:math><m:mrow><m:munder><m:mrow><m:mtext>lim</m:mtext></m:mrow><m:mrow><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">→</m:mo><m:mi>a</m:mi></m:mrow></m:munder><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mrow><m:mi>f</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>+</m:mo><m:mi>g</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>=</m:mo><m:munder><m:mrow><m:mtext>lim</m:mtext></m:mrow><m:mrow><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">→</m:mo><m:mi>a</m:mi></m:mrow></m:munder><m:mi>f</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>+</m:mo><m:munder><m:mrow><m:mtext>lim</m:mtext></m:mrow><m:mrow><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">→</m:mo><m:mi>a</m:mi></m:mrow></m:munder><m:mi>g</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>=</m:mo><m:mi>L</m:mi><m:mo>+</m:mo><m:mi>M</m:mi></m:mrow></m:math></para> <para id="fs-id1170572627273"><term id="term-00003">Difference law for limits</term>: <m:math><m:mrow><m:munder><m:mrow><m:mtext>lim</m:mtext></m:mrow><m:mrow><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">→</m:mo><m:mi>a</m:mi></m:mrow></m:munder><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mrow><m:mi>f</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>−</m:mo><m:mi>g</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>=</m:mo><m:munder><m:mrow><m:mtext>lim</m:mtext></m:mrow><m:mrow><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">→</m:mo><m:mi>a</m:mi></m:mrow></m:munder><m:mi>f</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>−</m:mo><m:munder><m:mrow><m:mtext>lim</m:mtext></m:mrow><m:mrow><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">→</m:mo><m:mi>a</m:mi></m:mrow></m:munder><m:mi>g</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>=</m:mo><m:mi>L</m:mi><m:mo>−</m:mo><m:mi>M</m:mi></m:mrow></m:math></para> <para id="fs-id1170572450574"><term id="term-00004">Constant multiple law for limits</term>: <m:math><m:mrow><m:munder><m:mrow><m:mtext>lim</m:mtext></m:mrow><m:mrow><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">→</m:mo><m:mi>a</m:mi></m:mrow></m:munder><m:mi>c</m:mi><m:mi>f</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>=</m:mo><m:mi>c</m:mi><m:mo>·</m:mo><m:munder><m:mrow><m:mtext>lim</m:mtext></m:mrow><m:mrow><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">→</m:mo><m:mi>a</m:mi></m:mrow></m:munder><m:mi>f</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>=</m:mo><m:mi>c</m:mi><m:mi>L</m:mi></m:mrow></m:math></para> <para id="fs-id1170572104032"><term id="term-00005">Product law for limits</term>: <m:math><m:mrow><m:munder><m:mrow><m:mtext>lim</m:mtext></m:mrow><m:mrow><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">→</m:mo><m:mi>a</m:mi></m:mrow></m:munder><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mrow><m:mi>f</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>·</m:mo><m:mi>g</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>=</m:mo><m:munder><m:mrow><m:mtext>lim</m:mtext></m:mrow><m:mrow><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">→</m:mo><m:mi>a</m:mi></m:mrow></m:munder><m:mi>f</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>·</m:mo><m:munder><m:mrow><m:mtext>lim</m:mtext></m:mrow><m:mrow><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">→</m:mo><m:mi>a</m:mi></m:mrow></m:munder><m:mi>g</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>=</m:mo><m:mi>L</m:mi><m:mo>·</m:mo><m:mi>M</m:mi></m:mrow></m:math></para> <para id="fs-id1170572347458"><term id="term-00006">Quotient law for limits</term>: <m:math><m:mrow><m:munder><m:mrow><m:mtext>lim</m:mtext></m:mrow><m:mrow><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">→</m:mo><m:mi>a</m:mi></m:mrow></m:munder><m:mfrac><m:mrow><m:mi>f</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow><m:mrow><m:mi>g</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow></m:mfrac><m:mo>=</m:mo><m:mfrac><m:mrow><m:munder><m:mrow><m:mtext>lim</m:mtext></m:mrow><m:mrow><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">→</m:mo><m:mi>a</m:mi></m:mrow></m:munder><m:mi>f</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow><m:mrow><m:munder><m:mrow><m:mtext>lim</m:mtext></m:mrow><m:mrow><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">→</m:mo><m:mi>a</m:mi></m:mrow></m:munder><m:mi>g</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow></m:mfrac><m:mo>=</m:mo><m:mfrac><m:mi>L</m:mi><m:mi>M</m:mi></m:mfrac></m:mrow></m:math> for <m:math><m:mrow><m:mi>M</m:mi><m:mo>≠</m:mo><m:mn>0</m:mn></m:mrow></m:math></para> <para id="fs-id1170572246193"><term id="term-00007">Power law for limits</term>: <m:math><m:mrow><m:munder><m:mrow><m:mtext>lim</m:mtext></m:mrow><m:mrow><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">→</m:mo><m:mi>a</m:mi></m:mrow></m:munder><m:msup><m:mrow><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mrow><m:mi>f</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow><m:mi>n</m:mi></m:msup><m:mo>=</m:mo><m:msup><m:mrow><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mrow><m:munder><m:mrow><m:mtext>lim</m:mtext></m:mrow><m:mrow><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">→</m:mo><m:mi>a</m:mi></m:mrow></m:munder><m:mi>f</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow><m:mi>n</m:mi></m:msup><m:mo>=</m:mo><m:msup><m:mi>L</m:mi><m:mi>n</m:mi></m:msup></m:mrow></m:math> for every positive integer <emphasis effect="italics">n</emphasis>.</para> <para id="fs-id1170572232633"><term id="term-00008">Root law for limits</term>: <m:math><m:mrow><m:munder><m:mrow><m:mtext>lim</m:mtext></m:mrow><m:mrow><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">→</m:mo><m:mi>a</m:mi></m:mrow></m:munder><m:mroot><m:mrow><m:mi>f</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow><m:mi>n</m:mi></m:mroot><m:mo>=</m:mo><m:mroot><m:mrow><m:munder><m:mrow><m:mtext>lim</m:mtext></m:mrow><m:mrow><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">→</m:mo><m:mi>a</m:mi></m:mrow></m:munder><m:mi>f</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow><m:mi>n</m:mi></m:mroot><m:mo>=</m:mo><m:mroot><m:mi>L</m:mi><m:mi>n</m:mi></m:mroot></m:mrow></m:math> for all <emphasis effect="italics">L</emphasis> if <emphasis effect="italics">n</emphasis> is odd and for <m:math><m:mrow><m:mi>L</m:mi><m:mo>≥</m:mo><m:mn>0</m:mn></m:mrow></m:math> if <emphasis effect="italics">n</emphasis> is even and <m:math><m:mi>f</m:mi><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo><m:mo>≥</m:mo><m:mn>0</m:mn></m:math>.</para> </note>

Referencing norms: JustifyLimitConstantMultiple6, JustifyLimitDifference4, JustifyLimitPower7, JustifyLimitProduct5, JustifyLimitQuotient8, JustifyLimitSum3

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<section id="fs-id1170572624507" class="key-equations"> <title>Key Equations</title> <table id="eip-485" summary="." class="unnumbered unstyled"> <tgroup cols="2"><tbody> <row> <entry><emphasis effect="bold">Basic Limit Results</emphasis></entry> <entry><m:math><m:mrow><m:munder><m:mrow><m:mtext>lim</m:mtext></m:mrow><m:mrow><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">→</m:mo><m:mi>a</m:mi></m:mrow></m:munder><m:mi>x</m:mi><m:mo>=</m:mo><m:mi>a</m:mi><m:mspace width="0.2em"/><m:munder><m:mrow><m:mtext>lim</m:mtext></m:mrow><m:mrow><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">→</m:mo><m:mi>a</m:mi></m:mrow></m:munder><m:mi>c</m:mi><m:mo>=</m:mo><m:mi>c</m:mi></m:mrow></m:math></entry> </row> <row> <entry><emphasis effect="bold">Important Limits</emphasis></entry> <entry><m:math><m:mrow><m:munder><m:mrow><m:mtext>lim</m:mtext></m:mrow><m:mrow><m:mi>θ</m:mi><m:mo stretchy="false">→</m:mo><m:mn>0</m:mn></m:mrow></m:munder><m:mtext>sin</m:mtext><m:mspace width="0.1em"/><m:mi>θ</m:mi><m:mo>=</m:mo><m:mn>0</m:mn></m:mrow></m:math><newline/> <m:math><m:mrow><m:munder><m:mrow><m:mtext>lim</m:mtext></m:mrow><m:mrow><m:mi>θ</m:mi><m:mo stretchy="false">→</m:mo><m:mn>0</m:mn></m:mrow></m:munder><m:mtext>cos</m:mtext><m:mspace width="0.1em"/><m:mi>θ</m:mi><m:mo>=</m:mo><m:mn>1</m:mn></m:mrow></m:math><newline/> <m:math><m:mrow><m:munder><m:mrow><m:mtext>lim</m:mtext></m:mrow><m:mrow><m:mi>θ</m:mi><m:mo stretchy="false">→</m:mo><m:mn>0</m:mn></m:mrow></m:munder><m:mfrac><m:mrow><m:mtext>sin</m:mtext><m:mspace width="0.1em"/><m:mi>θ</m:mi></m:mrow><m:mi>θ</m:mi></m:mfrac><m:mo>=</m:mo><m:mn>1</m:mn></m:mrow></m:math><newline/> <m:math><m:mrow><m:munder><m:mrow><m:mtext>lim</m:mtext></m:mrow><m:mrow><m:mi>θ</m:mi><m:mo stretchy="false">→</m:mo><m:mn>0</m:mn></m:mrow></m:munder><m:mfrac><m:mrow><m:mn>1</m:mn><m:mo>−</m:mo><m:mtext>cos</m:mtext><m:mspace width="0.1em"/><m:mi>θ</m:mi></m:mrow><m:mi>θ</m:mi></m:mfrac><m:mo>=</m:mo><m:mn>0</m:mn></m:mrow></m:math></entry> </row> </tbody> </tgroup> </table> </section>

Referencing norms: JustifySpecialLimitOneMinusCos14, JustifySpecialLimitSin13

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<note id="fs-id1170572557796" class="theorem"> <title>Limits of Polynomial and Rational Functions</title> <para id="fs-id1170572557802">Let <m:math><m:mrow><m:mi>p</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow></m:math> and <m:math><m:mrow><m:mi>q</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow></m:math> be polynomial functions. Let <emphasis effect="italics">a</emphasis> be a real number. Then,</para> <equation id="fs-id1170572347161" class="unnumbered"><label/><m:math><m:mrow><m:munder><m:mrow><m:mtext>lim</m:mtext></m:mrow><m:mrow><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">→</m:mo><m:mi>a</m:mi></m:mrow></m:munder><m:mi>p</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>=</m:mo><m:mi>p</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>a</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow></m:math></equation> <equation id="fs-id1170571656084" class="unnumbered"><label/><m:math><m:mrow><m:munder><m:mrow><m:mtext>lim</m:mtext></m:mrow><m:mrow><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">→</m:mo><m:mi>a</m:mi></m:mrow></m:munder><m:mfrac><m:mrow><m:mi>p</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow><m:mrow><m:mi>q</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow></m:mfrac><m:mo>=</m:mo><m:mfrac><m:mrow><m:mi>p</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>a</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow><m:mrow><m:mi>q</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>a</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow></m:mfrac><m:mspace width="0.2em"/><m:mtext>when</m:mtext><m:mspace width="0.2em"/><m:mi>q</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>a</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>≠</m:mo><m:mn>0</m:mn><m:mo>.</m:mo></m:mrow></m:math></equation> </note>

Referencing norms: JustifyDirectSubstitution9