Численные методы: бисекция, Ньютон, трапеции и Симпсон, Эйлер, Рунге — Кутта — авторское изложение

ru · official · sha256:904005c86cd2e7898510834a1551a9230a5638db46f79bfd6d55cc1e75bc3b19RU

§1. Приближение, сходимость, порядок и критерий остановки Приближённое решение — число либо функция, отличающиеся от точного решения на величину, называемую погрешностью. Абсолютная погрешность есть модуль разности, относительная — её отношение к модулю точного значения; при близком к нулю точном значении относительная погрешность неинформативна, и это надо называть. Последовательность приближений сходится, когда погрешность стремится к нулю. Порядок сходимости p: погрешность следующего приближения оценивается сверху константой, умноженной на погрешность текущего в степени p. Линейная сходимость есть p = 1, квадратичная — p = 2. Условия сходимости обязаны предъявляться вместе с методом. Метод, сходящийся ЛОКАЛЬНО, требует достаточно близкого начального приближения; метод, сходящийся ГЛОБАЛЬНО при выполнении условий на отрезке, такого требования не несёт. Смешение этих двух случаев есть самая частая ошибка изложений. Критерий остановки — условие, при котором вычисление прекращается. Различаются критерии по величине изменения приближения, по величине невязки и по числу шагов. Критерий по невязке и критерий по изменению НЕ равносильны: у функции с малой производной малая невязка не означает малой погрешности, а у функции с большой производной наоборот. Ограничение числа шагов обязано присутствовать ВСЕГДА. Оно не есть страховка от ошибки реализации: у метода, сходящегося лишь при условиях, которые не проверены, других оснований завершения нет. Метод без такого ограничения не имеет доказательства завершения. Порядок точности квадратурной формулы: формула имеет порядок p, когда погрешность на отрезке длины h оценивается величиной порядка h в степени p при достаточной гладкости подынтегральной функции. Требование гладкости существенно: у негладкой функции оценка не действует, и метод не «работает хуже», а не имеет обоснования. Порядок метода решения дифференциального уравнения: локальная погрешность шага имеет порядок h в степени p + 1, глобальная — h в степени p. Различие локальной и глобальной погрешности обязано называться: их путают чаще всего.

Referencing norms: AnswersHere, f-0387f4ed47b4bd793bd7169c, f-0973c5b80bfc17de1fc8779b, f-1d80c1d4e229633caa5e1969, f-226579f336bb467bc54e03a0, f-2889d8919fab0aeb1320103e, f-331d103ec360ee5d7ea6edad, f-38b10eeefcbea4fff0c4cf8b, f-447f4f8a4279905852c7df34, f-4ceb606ca90ac558b3a6c6c0, f-4ddf8d66d61fc2fdcdc862f9, f-57aa14b7df9bb45aa6e575d5, f-5d7a1307c97c6cc4cd3bf50e, f-69f86138460b704821842bd8, f-6b056b3205a3e8dd79fd40fe, f-6daac1165efb789bb02f6486, f-6dfdd6b835a32d80125d562e, f-73208858ed4cf8ee5ca79697, f-778f9eb61a93aee9fb8827f0, f-7d19d10b5094549a29083adc, f-88dfe290bbc7b8375a14fa83, f-8a673109522507e59879a2c6, f-8d9bf291333b88810937f45b, f-8fe418b87fbd3831a04a25e0, f-900addf3a4a90c3a982cc551, f-95750331781d691a9f74b729, f-9e30aabb26268a1457dfba1f, f-a8f623276f068e417330d4fd, f-ad63a0edb7c65f98d53eefc4, f-b94947ee4225ee21ef9783a3, f-bf7e386d7f5816d30e73afee, f-c5fbe97129dd1f8a987ee935, f-d6d90ab261cee82dc4735cf5, f-daf221530353143df590c11c, f-dc52293668a445fd2547ce5a, f-e52c557942b060aea732e336, f-f36bc72222ba4aae6acd7996, f-f3a5fe571f830776a730bed0, f-ff43e28a577be05682890a8f

ru · official · sha256:7d29d2efcbfa7f58aa29f044dcbf508e251579130eeb2732a6427044db87044cRU

§2. Деление отрезка пополам Задача: по непрерывной функции и отрезку, на концах которого она принимает значения разных знаков, найти корень с заданной точностью. Вариант — половинное деление отрезка с выбором половины по знаку. Отрезок делится пополам; вычисляется значение функции в середине. Если оно нулевое, середина есть корень. Иначе выбирается та половина, на концах которой знаки различны, и деление повторяется. Основание — теорема о промежуточном значении: непрерывная функция, принимающая на концах отрезка значения разных знаков, обращается в нуль внутри него. Условие РАЗНЫХ ЗНАКОВ на концах есть предусловие; без него метод неприменим, а не медленен. Инвариант: на концах текущего отрезка функция принимает значения разных знаков, поэтому корень лежит внутри него. Мера убывания — длина отрезка: она уменьшается ровно вдвое за шаг. Отсюда и число шагов: чтобы длина стала меньше заданной точности, нужно порядка двоичного логарифма отношения начальной длины к точности шагов. Сходимость ГЛОБАЛЬНА при выполнении предусловия и ЛИНЕЙНА: погрешность уменьшается вдвое за шаг. Это медленно по сравнению с §3, и в этом вся плата за отсутствие требований к производной. Крайние случаи: корень на конце отрезка — обнаруживается проверкой значений до начала; несколько корней внутри — метод находит ОДИН, и какой именно, не определено; равные знаки на концах — предусловие нарушено, и описание отвергает вход.

Referencing norms: f-04ff9ac67c0556c161ccfb0d, f-059e3fed284db5d4838e24b4, f-0697f228aaef6ef2cc57bf6e, f-0b0b98a6227bd556238384fa, f-0b6ac949e7711c1743e35cec, f-0e239486b73b451b21455854, f-0e2eb4527705b2190c3fd384, f-10c4c49825746366764c04eb, f-10ca94b7911dd59864594436, f-114c856f82de74846a37e460, f-1575f22c35e7b495d64326e4, f-1b116c816aa5f794d48275c8, f-1fe563570e172e3d89ac3e2b, f-2295b487814155edfb6abba2, f-2cd4e84c1e92421f860dc417, f-2cf0b9c8b8881142b63ab3bf, f-31966ff29c892380d02efc13, f-31eaac23b58723f65a869714, f-3459710cd82655f6e635d126, f-357cda4ac83e338ff78569bc, f-36d2eb94f5265e549fe76251, f-38f8f3f092ed6c1a7b43d34c, f-3ab162c9df80b678b853a5d8, f-3cc589e5de0f8e2021abb2d5, f-3cc614a07bf3294e70045b13, f-3e8f3410b1e7d965a1083ae3, f-3ff5bf81840bf830a7a8e654, f-47e8458ef1f340b44e52d36f, f-4c948337a37cd88ecbf53190, f-51c8cce9353a449f0316552a, f-545cadbf7b58ff28c8d35919, f-54f41c2c536df9785437d9d8, f-566564506a3186515a511f9b, f-5e9b8184347529ab28559e51, f-6030b1ba88d4d4f0edb30ab2, f-63b40cc7731545d4619ee79d, f-64a96a10115f5cd1565cb044, f-6734d631d177180b54a2e0c8, f-684a0da3856570679927b9d9, f-6ed3ab3c3d254a172e0c6285, f-6f31fb4a10ada53261f8142f, f-704a770f830942d18414e370, f-72d7975649b4d0ba3dd7d837, f-72fb0818ac871220214f9b78, f-737089620645437af46241e5, f-774e33f41f7db75546f50891, f-788e5227cbdc74d0cdd05c33, f-7afbefc7ebd99b0dc0800cb3, f-7c38d758132bff7f4183d173, f-820caa1e0671c6f7817539ab, f-824e149f462b5816976c461b, f-8272fe672e31d2808ca7a10a, f-829ab84f66dec9df311def32, f-86c788274c485f6435b97942, f-8774230c0676a8e4c3e7c407, f-885d6291e77ba7d3db65a651, f-88924a080cc9b852d0cd750f, f-889f982a24e0655865998393, f-8ab95715a3d980be6f37e94f, f-8b36aa3c74a7c4df39629b2f, f-906aae26750ce670f7abe54d, f-92006eefc6b4cd7acc0b0af9, f-93d613f1fa03dfb4062435ea, f-9791b11b84ca2278c9421450, f-9bfe67c166e1694e020d560e, f-9e13ea336f3e54e14a668fa9, f-9ed2a1ef827d4b5e6b162f40, f-9f75e8e69a59a0f877ab058c, f-9f8f83a397c4beec5221d3d6, f-a0cf848b966929f839a70d2a, f-a64c23022d1fa2ba122e82f8, f-a6c561d9029706006fd3a040, f-a877e22074d8baa3e741bd22, f-ad4915835dc19978a32b5a51, f-aea2ab6d06495c90ba1c9794, f-b0877c842e6ae0545904760a, f-b77cbf1263d3cedd33c038f9, f-b8209bbc926897e885dbf862, f-b888891a7822fc46025bcada, f-b8a9527c1a495f810b3d0079, f-b9c5ac7b025d43199fddfcb8, f-bb43cab6a83774cf0d9daaf0, f-bd213e9c802fdc74bbcd8abc, f-c08131f5db1376098012fd88, f-c121b52d7ad1f3abe860d476, f-c4c0a13a456ade765456ebb3, f-c6822018f58b62de4fc06ce8, f-c916a74716f7dafe33021295, f-c94e75ff97bc052de20caee1, f-c961341e644586a8994d5b8a, f-cad9272f634138ac13779093, f-cb765b16b05aadd80e63051e, f-cee133caf5ec27fc1a5a2cf8, f-dd54e0d134de3043212c3932, f-dd56e198fc2ae477d0daa3dc, f-de3736c08a1f5f13da1e11d4, f-dfe9981c9dd4a3c070717602, f-e09178ef9ac90dce294b6053, f-e70d8133201aa520ea731ccb, f-e9b6565cba6c6ddaf3ff27d9, f-eb86279f5f310f270b8f7b6b, f-ef9aa604a8a73a6a0bd01d80, f-f320db66a11ad9188ecc6e2f, f-f5d0608588ee8cf031b6cfe3, f-f8d5618eb38aab18569e6346, f-fcab5f0f504fb0da925e92b5, f-fd3bd3758a9fd50ec6b07609

ru · official · sha256:445fae3f72efecd35f7a891b345c6f79f884b7a8dce8282dfcd0bf0de0229b7aRU

§3. Метод Ньютона Задача: по дифференцируемой функции и начальному приближению найти корень. Вариант — касательная в текущей точке, следующее приближение есть её пересечение с осью. Следующее приближение равно текущему минус отношение значения функции к значению её производной в этой точке. Повторение прекращается по критерию остановки либо по исчерпании отведённого числа шагов. Условия сходимости: функция дважды непрерывно дифференцируема, производная в корне отлична от нуля, начальное приближение ДОСТАТОЧНО БЛИЗКО к корню. При выполнении этих условий сходимость КВАДРАТИЧНА — утверждение источника, доказательство остаётся в нём. Сходимость ЛОКАЛЬНА: при далёком начальном приближении метод может расходиться, зацикливаться либо уходить к другому корню. Утверждать сходимость без оговорки о близости начального приближения — ошибка, а не упрощение. Нулевая производная есть отдельный случай: касательная горизонтальна, пересечения с осью нет, и описание обязано остановиться с отказом, а не делить на нуль. Кратный корень снижает порядок сходимости до линейного: производная в корне равна нулю, и условие нарушено. Это обстоятельство называется вместе с методом. Ограничение числа шагов обязательно: при нарушенных условиях сходимости других оснований завершения у метода нет.

Referencing norms: f-009b765ec835414fc9cad542, f-00ee20c1df34c68c56e121b0, f-08b0902551110e4552ab09ee, f-112402eea70242fdd4c91326, f-1518f446f0a8da185276e885, f-1601bf62823764c27bdb0b65, f-16bcc067fb54110908c161c3, f-1c29e456a2effb5ac013efe6, f-1cc5312566f6ef94bf11ac90, f-2038650b8458d871dbdf2517, f-24ae750837e852ed2ea812d5, f-2c5ae52b063f08dea1474fae, f-2e332a148642fa775db41e08, f-2f03bb902a76da5dc24fd8a7, f-3322a4c4e01e8b9c1c28371a, f-332e4cd35ef120dae475e3ce, f-347a2a73706f7654d964fe0a, f-398cb5942868911298987b68, f-3a0c80ad61a0517897371ac3, f-42feaa1fa1ea22b6398a695a, f-4339e040370307ef522ca43d, f-47cf8e7c8e26029366200482, f-4e4b65e907bda720d8008096, f-4f5270ebefa6f4be60cd8c42, f-525f669237d642fca5bfd271, f-534548869c939aeb20b5b90f, f-53da39a73419776e241fa4c3, f-53ecfb8cfb4abce5a4d9514b, f-5505ba251ed9cd2a1eee6e73, f-58d6604e305e32376eaa67fd, f-5fb57f7336c833da7154e4aa, f-61169725962f2f588f585df8, f-63ce5c903216fe7a7f346bca, f-6b3a35105d758e23cc3d627e, f-6bb92acdfcd403d83c7d698f, f-6c4e980cf7a3e7bc93bbf5fb, f-6d1a149b88dcfab28f879467, f-6f0600e2a4e4470360ce27a8, f-6ff20aa91eda5247f1d39773, f-70cfa6f3ec1d3bb66dceb432, f-74a8c56e75a92271fe9ba6b5, f-7bd9b893b8cbb2d7c58e11f6, f-7c7cf784795ec41b53d5030d, f-82492ac2d02506490d9f4d1e, f-844bd73cfea0b9322a46c38b, f-86d20fa79389b01f0a4b4463, f-895d062c5b5b1b33f4c9b703, f-8c3f15514619665fa8e405e3, f-9250637eb0e808edf5e712f3, f-983c1b6ac51878c3f838108b, f-9ac7f43d69f3e56ef6cebf47, f-9ecb0e1e51b5a1c55de3799f, f-a7bfaadfb59e40d15b8f4fbd, f-a7cbf1666037d5f893d22b34, f-a7da11cb0a7df51e45785277, f-aabbcdf31c59793702a8789a, f-aabe04fab48ea9b86a354986, f-aaec91efa04e013b738992e3, f-ab31dd516bf886229a83249a, f-b344cec8f1b9539fc6e6f89f, f-b7b188c9598b9a65345a069e, f-b9d3dbf92fa9c7ed19d09d3b, f-bd9fda93a7563dec98c91385, f-be057aa9403976224c76724c, f-c2ead7ffaf450acd240c412b, f-c5538e74766651219d81b4eb, f-ccac7ec8502d9a8bb1edd585, f-cd8223277414fba8cb38c4c9, f-cd9fe772caef2dc2d32b018e, f-d214d38c9af0bd46e2658749, f-d270e2e3285ca297d14173ff, f-d861516bdedff573d395a6ce, f-dfc5d35c78ad98090b0cf20d, f-e3dd9325c828486715b9f45f, f-e85d943f2efc5d14f0c9df43, f-ed1c7bb09d0486102189ef5c, f-ed88c5e87d27ed23411644f8, f-efaabef90e9b8efdb7206782, f-f2d0f5db648054398f9ac190, f-f5215d27e926872eff7883a4, f-f7dc0b7d19611b2630d690c0, f-fa9eaff521d2be1bb5fcce2f

ru · official · sha256:3872a13982ee56e632db1dc23e2b25f9649ed83100d137cc50810262a6209bbbRU

§4. Составной метод трапеций Задача: по функции и отрезку приблизить определённый интеграл. Вариант — разбиение отрезка на n равных частей и суммирование площадей трапеций. Отрезок делится на n равных частей длины h. Приближение равно h, умноженному на сумму половин значений на концах и всех значений во внутренних узлах. Основание: на каждой части функция заменяется линейной, проходящей через значения на её концах; интеграл линейной функции есть площадь трапеции. Погрешность на всём отрезке оценивается величиной порядка h в квадрате при дважды непрерывно дифференцируемой функции — формула имеет второй порядок точности. Требование гладкости существенно: у функции с разрывной производной оценка не действует. Это не означает, что метод даёт неверный ответ, — это означает, что оценка погрешности не обоснована. Удвоение числа частей уменьшает оценку погрешности вчетверо. На этом стоит правило Рунге и метод Ромберга; оба составляют другие описания. Крайние случаи: n равно единице — формула вырождается в одну трапецию; периодическая гладкая функция на периоде — метод трапеций даёт точность выше оценки, и это отдельное утверждение источника.

Referencing norms: f-03659a32fb1874f389ee711d, f-0a9eb6c4d978ed855230470a, f-0dca2da6bbbc4f5c6e9a1090, f-12881b30a970be1aaceadb97, f-1370fb12c295d32ce457e112, f-152b57b8c8c18a9450f4caf8, f-179cbf11e55e3ec961f40f17, f-18236085c923f23850b52ad6, f-18cb575aed992e9d1e3ca146, f-1ac7d77bec4332b05833df80, f-1befaffe232c76f8494db091, f-1c30eace32adee626c6e548c, f-26708d259accc2036509a052, f-26b97394600b378a96a6a53e, f-2c6708ed07c0400810df9cab, f-301f4ce13e7827ed53292c63, f-3583c7ed96109ca7d5731e11, f-3760638cbc89e2a5e2245ae2, f-37d27bffd22ea0342ed8757f, f-39ca6453d367eb68846da56c, f-3bfbedeebb51e9b8c602c78a, f-3e07dd96c0c37273da14fe63, f-3fdacb95d5d3f271932fae37, f-3fe8f68afdf4566f6f7c0c5f, f-469cd84454d5ffff70bd9df1, f-48a56cfb5e6b1de685d4061f, f-4adc11ad4ebe3f9ed0fb3351, f-4c5d11b140502407df820911, f-4ebc1dc7d2731da4f28c4df9, f-5f8c47276e8558cb5797fcad, f-61b9d7b745068d0565f719b3, f-66c7e2239197c8d34b301d8f, f-6ec2066f7f9752d5ccf1edc1, f-724278c1e05b503ac04bfd7d, f-73e83af94b13db2de70bca66, f-79da0b9df930a466f92dd2b4, f-7d7c707accdd90f0c018dc53, f-814f0898cd2ff61875aab531, f-854698248d53517369821750, f-8c9821a7bae8661870e8e54b, f-8e31fd0476d33d0d41cd7246, f-9488a0c3ea9a5d13362045bf, f-95fa3ca6bf649220a4c400a7, f-964116fb8c2edf93492596aa, f-98b9d606bff464af6cdfa7b7, f-999da9bbbe13e22c1a783d8c, f-a1325474f5bc794efd191218, f-a3fe0f3ccadb979ba2aeab60, f-a5e16fe2062f1c3dd842b2d6, f-a5ef72951f08f9a7baeb6bfb, f-a7abe02bee0fb61bb61d1d45, f-acc597fc0386a305c0947151, f-b1ece3504f6d957875ef3df2, f-b74410ffdcf8468c33289bc6, f-b97cc41a42d93951aaaed1a5, f-bdbf327a28a63e5c9c2e36ec, f-c203e2f459a5adabea409ed0, f-c999de8dd75532098f85e7f4, f-cba73757a40292e459c50182, f-cbfd63e2d0f62335d44416e8, f-ce46659f5adf2c61a97c8cee, f-daa208fc7710cffccabdeb6a, f-e3150bb93494873bff54dc2e, f-e3e852cd9e62fa26fbed6744, f-e4417e6211d2d2d882a444aa, f-e984b0ed40a0b1f070eac4b2, f-ec425e5ade48771e4ea60a1b, f-f12eb7cf76ecbb0e21548c74, f-f2d462140a1da3e749cc7942, f-f37eb2004e74f5063841f0d0, f-f3959d19879cf1f8db7a62ec, f-f54039852d4d653ba67dbf9c, f-f7c5ca43a3852d4c3c4ca3c0, f-fd6a54d146b3690d78bf50eb

ru · official · sha256:d491d2596800bab1a048e95744c8cd023fc1d8251d2b2cd17a4741f5808e8079RU

§5. Составной метод Симпсона Задача та же. Вариант — разбиение на ЧЁТНОЕ число частей и приближение параболой по трём соседним узлам. Число частей n обязано быть чётным. Приближение равно h, делённому на три, умноженному на сумму: значения на концах, учетверённые значения в узлах с нечётными номерами и удвоенные значения в узлах с чётными внутренними номерами. Чётность n есть ПРЕДУСЛОВИЕ, а не удобство: формула строится по тройкам узлов, и при нечётном n последняя тройка неполна. Описание при нечётном n отвергает вход. Основание: на каждой паре частей функция заменяется параболой по трём узлам. Погрешность оценивается величиной порядка h в четвёртой степени при четырежды непрерывно дифференцируемой функции — формула имеет четвёртый порядок точности. Формула точна для многочленов степени не выше ТРЕТЬЕЙ, хотя строится по параболе. Это утверждение источника и полезная проверка понимания: лишняя степень точности возникает из симметрии узлов. Удвоение числа частей уменьшает оценку погрешности в шестнадцать раз. Крайние случаи: n равно двум — одна парабола; функция с разрывом внутри отрезка — оценка не действует, и разбиение обязано учитывать точку разрыва отдельно.

Referencing norms: f-020d425037651e7033aa0945, f-02af4eeaf5e737bbe65adc1e, f-02da3bdee0345480feba03d1, f-058c3cae07b85cb59d8d92a1, f-073b2a00ece305511df72160, f-086f322bba14784a836360c3, f-1424dd0a42511f9baacad332, f-150dc2e24f77b0b7d4dff7e6, f-1a025433eac4581089c5af08, f-1c0ba06081d40e3b1a438227, f-1f2ab97c5ce1cb765f079377, f-20c9f05e1a2e738de68cab8e, f-2132cad5cb477dad5506e9b2, f-2183980dad05920f3b2e4b6e, f-21b4216ecff118d7ef952514, f-229209a9c36c406780701dd6, f-22cf24ad6b028589b745e212, f-27566c3ea863ed44d0cb1270, f-2902ad60e1fdedc4a1e73ee9, f-2d59709f0e64ac7ec91e8598, f-2da371e34558eb71ea3172da, f-305fd474b74028a615ceadc0, f-30e7af25fedc96f5f48aa5ef, f-313e0d3af5a0e2f5475d1b46, f-39fe7e76bbc8b58e23829995, f-3bae9e1c3377d79e87644739, f-4079b32daa5856fdb93bb0dc, f-42a0535f40afb717dcd78d8c, f-473fc38ae476e7bdf9e559b3, f-499c471d55be1c1746028394, f-4d63eebead9dba98472507ad, f-5090ef53e68b390b29361ba0, f-56225ee7299d24eaae9c7a8f, f-57e4dcfab8acfb6012215947, f-5fbbb1e23978edb8ecec29d5, f-616001604049d46476648e76, f-6528859d82669012ea3bd1fa, f-6c68f3c8d211f6307ac061a9, f-6d049154c625cffb2ccc5ee8, f-6fe489a89468c69aca43143f, f-791ac2d96ff405770af235d1, f-7df139f330d99e872927bbc0, f-8083163a0e0fbc6ad23acfa1, f-8729f24194a2bec36a6c8704, f-8d3e4235ff9122b4938bc39c, f-9228e7dfcf9344b1c5388bfb, f-95c9d5c0a52608195fe909ea, f-985eaac4583334374a730444, f-9ca9d21334441b571e9c4cd1, f-9d1f9a67990eea4185bda87b, f-9de31b4745c97b864013206f, f-9decb6de87002ad49ef4fcc1, f-9edb81cd1212a6cb2815c955, f-a110281c167495b8b00c6f8c, f-a45a6d638505bf01573fc9de, f-a4fddb1a385dfbf8fa54f81e, f-a71fa734577616bf0efaef70, f-b283bd0dc23415c2e8dd94b9, f-ba5009f13f38f4c7d950c7e3, f-bb0a69d3dc3caff1bf1bab1d, f-bf8af6ec4a259f610577a541, f-c2390a308cd9aeaafb08f73b, f-c2ee0d4d9831cd8b48ba858a, f-c3e7530ea1fb16ebcaf13276, f-c3e9b0208d3c6aa034c0ed5f, f-c46d0d471a670e2eeb76d737, f-c59b129f6316f6ed31146c20, f-dbd3b4ab66876caa6dfd6a0f, f-dda390a65b882a782446c291, f-ddccdad2facfd6d6d37ad957, f-e935b710244d7c2d8b305d91, f-ec6091f0bb38b4d47686c1d4, f-f3f9a40e161546e91846366f, f-f690f8ea164b4a12dfed8e1c, f-f8892cf250c5c7db2e66abdf, f-fce9fc0d0f90a344bacda68c, f-fedac947e9ab43debaed1a5a, f-ff879820e8759c5c762f1865, f-fffd657c1aa2826ac65e4a91

ru · official · sha256:73c96e7c63038285fb1e01e0b3560f4e2e2790675f3c149f400f73583d0de247RU

§6. Явный метод Эйлера Задача: по обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка с начальным условием приблизить решение на отрезке. Вариант — шаг постоянной длины по касательной. Следующее значение равно текущему плюс произведение длины шага на значение правой части уравнения в текущей точке. Шаги повторяются до конца отрезка. Локальная погрешность шага имеет порядок h в квадрате, глобальная — порядок h: метод ПЕРВОГО порядка. Различие локальной и глобальной погрешности обязано называться — их путают чаще всего. Условие сходимости: правая часть непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по искомой функции. При его выполнении глобальная погрешность оценивается величиной порядка h; доказательство принадлежит источнику. Устойчивость: у явного метода Эйлера область устойчивости ограничена, и на жёстких задачах требуется недопустимо малый шаг. Жёсткость есть свойство ЗАДАЧИ, а не метода, и для таких задач применяют неявные методы — другое описание. Крайние случаи: нулевая длина шага — деление отрезка не завершается, и это отказ, а не бесконечное уточнение; правая часть, не удовлетворяющая условию Липшица, — оценка погрешности не действует.

Referencing norms: f-003c24eb595e6d7891542e6f, f-0680b19182b7c2ed04842899, f-06d22b9886c24e30fc3abdee, f-071d30087dfe1b0aeb44c858, f-08919b7b5236ffb7fd10f61f, f-0abad9705fa8b04e28c8f94d, f-0c1434ffba7a61a771fae9f2, f-0df9867069766a368bf5b974, f-0f473968ff0d0697501587e2, f-113ffec27575ad5cac63711d, f-1334707490008b355ab6ebee, f-1827ca80270b0e2a67cf5778, f-1e301bc38f124f7c97d9b328, f-255c4d6caf3b3b5675bf8b2f, f-261a961b102ab7d0a893a812, f-2af8d44e9cd5f67bc0d2413e, f-2cac3fa6f83dfac0bd70a537, f-2ce9f859adc3e5062f2d11e0, f-2e62f16792f077c94d7e4b02, f-2fe79ed3bc95fc748d75b3dd, f-3188429d2405cffb79988361, f-366164c9495546e5664a9d07, f-3955502be6ffef66bc573120, f-39ad251086c47301d5c209c2, f-3d723391dfbe5676f5979801, f-469ba18915ee098ad0a49048, f-47b5d9ebba5441dbdabc90c6, f-5283290b0c137499230bf534, f-54a3d2274ed4f03c71e29e3b, f-54e5d556c64c7f95ccd54c6f, f-557f5299fab1626e3e72f27a, f-59937520b1a990ba3ee1d2db, f-5db53fc1183906164c99a16e, f-6394d4a6405cbf42931e8ff2, f-665b54fcceedcce028c5c7fb, f-6e0db4ba30acc87f8eecd180, f-6edbc70b7143c5f8eeb59774, f-6f5bf90e96edddc7d41cc99c, f-707798186da35b60d9fed074, f-7160a01ffd4f3de3a3d81e76, f-73092cbfca364edd433ecd82, f-743469f5f286eae218eb3253, f-758813f912c2cbc1f5b2b8d5, f-7766926368893869f6b7858e, f-7a2ac2cdfe62a077a3c55451, f-7b232cbc719c06ec3e4aa609, f-7b76c17cf9d13db6344add33, f-80b3a80794036330021d69fc, f-80ef05a4d666da3e69f1600d, f-81fd1f2e4be4f1682023588f, f-8b89075c49a035a6b2b10e2e, f-9243bfe5c020d4013a364db9, f-956a39d638f8c3011d680fad, f-9f2de97d147b1807a3d266f7, f-9fe1822197ef7a9f86cfbafd, f-a39ff003213dba474de1c327, f-a5f83d4f059abe869d09438d, f-a60543d09e1bf293aba7979f, f-a672344fab8894db78a250d8, f-a78409bba0fb622820bef5c0, f-a8d8c5278d3025eeece81e7f, f-a9052115c078c4ee1f87c8aa, f-aa7805ae9e27e9418e7cc4b2, f-abf79a9949da2dc5d065d63e, f-ad361778841cf96a2522c82a, f-b1dfdf68c4fe00c3c241af2d, f-b26ede922087f4d161068da4, f-b522b9060700c51a57f81d83, f-b586d414b5bb528cf42f2b8b, f-b62ea45d863bdff813bd3184, f-b88204e2d16f1382a5a81f8c, f-b8fa0e1c5378d3cc2cacb91b, f-bad0fb95c15300782db0af27, f-c145833a34a24038e67adf74, f-c28de3a0bd7fe61d09023638, f-c57ee18c43cec1cd6d14f5f5, f-c69c827f223044b5c3785d47, f-cdd9ae38b97196f85be9ab9b, f-ce9939186f3e53a88ac61eaf, f-cebb559f47ea2d2c7cdc8cc4, f-d15ea8fe41b372e9d76c8a8f, f-d374bad704ddc71257752ff3, f-d4e277c43d0f1d683214ac03, f-d59c84c9a200ad619debfd7f, f-db791f19a04693546bf4e8a8, f-dd17b16474c6d9efa3ecb7ff, f-e3355f1ff90c74337c83c8c5, f-e368b5c2b8b24d16b0689a0f, f-e54cc34aeae4d50ddb62b30d, f-e5eb2ff37edf6abb8a8b7fa7, f-f1900a7e70f0185df836edf8, f-f42cd4cac8c7dd96351f69f3, f-f83a9e82da7a0de75163b97c, f-f96368065c4c27e20f417c49, f-fa01044be5a7b12004e3d901, f-fa84c556df0aa99fa8c294b1, f-fb30dc87e852482a97b236ec, f-fcabec9bc68519c09564b860, f-ff7592bddaf59307c138d70e

ru · official · sha256:977bbd1f8fae9c68421bb12f1be5bdd032455841840040bbcdb72f28d99fb6fdRU

§7. Классический метод Рунге — Кутты четвёртого порядка Задача та же, что у §6. Вариант — классическая четырёхстадийная схема с весами одна шестая, одна треть, одна треть, одна шестая. На каждом шаге вычисляются четыре приращения: в начале интервала, дважды в его середине и в конце, причём каждое следующее использует предыдущее. Следующее значение есть текущее плюс взвешенная сумма приращений с указанными весами. Веса и точки не произвольны: они подобраны так, чтобы разложение приближения совпадало с разложением точного решения до четвёртой степени h включительно. Вывод условий на коэффициенты принадлежит источнику, и настоящее описание его не воспроизводит. Локальная погрешность шага имеет порядок h в пятой степени, глобальная — h в четвёртой: метод ЧЕТВЁРТОГО порядка. Ценой служат четыре вычисления правой части на шаг вместо одного у §6. Метод остаётся ЯВНЫМ, и потому область его устойчивости, хотя и больше, чем у §6, тоже ограничена. На жёстких задачах он так же непригоден, и утверждать обратное нельзя. Шаг постоянной длины назван вариантом изложения; схемы с автоматическим выбором шага по оценке погрешности — например, вложенные пары Рунге — Кутты — Фельберга — составляют другие описания. Крайние случаи те же, что у §6, плюс один свой: разрывная правая часть делает четыре вычисления на шаг бессмысленными, потому что все они предполагают гладкость на интервале шага.

Referencing norms: f-007131db2957fe502f3bd312, f-0136651bbfb8c4224e4c513c, f-037b7679f703b963290abcd5, f-071c64b96b695d1f3a4d3069, f-0720531a24ff3bedd0d426ef, f-07bcf24ab4ec9ea1d80b3504, f-0aa2465eedaa2cb8b06d2309, f-0ca3ef776705396dc1bf9628, f-0f0ccb05f519179a915f838e, f-11d7f8f7975d344121ca22a4, f-13a1d8e7370f387f145ad4eb, f-1a84ad44cc5257cb7aec0605, f-23232fc9ee48775d967263db, f-2392bbbda0ab8f5a659aef2d, f-2502e969478ce2515187033f, f-28c8e52ea1496a4d883a668f, f-2a91af1cb2fb9dfc1863288d, f-2c50db297c8c3a4ac6a6edb3, f-2d416bb45dda087a34b1fd79, f-2e882d6135a3475c0e066dd4, f-381370dbff0a4cc5445626b6, f-39491ad5848158ef36b1d3db, f-3b91963529b88c72af202ac9, f-3bed6d3827694a03624fa58e, f-4456f76e050797af57a2631d, f-4ba16d4d0755bf29a83333c5, f-4cd774a39a05fae699499557, f-4d3a1acc519bd6fd6716533f, f-4fb1edd361c9fdee6c3abc60, f-5061e5b8678969a032aa0088, f-52bae18fce37ff90d0d72d38, f-531a27274c4208f709037c6a, f-54acb74ce2bdaf2213bbae37, f-551d4d2be2deaf9e3c3ff4f9, f-55693534d72dcb9e57c1774f, f-59e0e06eb8e533140b54d4e0, f-5dac3f791a7d2a3a5ce8c720, f-5e8eea9de276ba1f3e3e9bba, f-61708cdcfa58675c51f57fc8, f-63ab9badd6851dc300ce61e4, f-68cf07caf7edff188deb3760, f-6e7c59b71f3b90bfa27e81d3, f-6fdaae848d36805fd5ffe58f, f-71113914ff2963557e125b62, f-73084eca10a2206f1e41f1b4, f-7861f1708fa8c2978727b1bb, f-7e5bc2cc561822da311f6652, f-7e5e81f86d5250700b45686d, f-82435e39a4e847498152c613, f-859e890aa9e4c78cba404a63, f-86fc6b1b9be66d2bfb745744, f-8a276e53629e5798e7823123, f-960b67f92b28936825058a74, f-973205c1b9c1625c728d7a74, f-9ed15932da18556b61c10535, f-a3f29b1342e548594968f14c, f-a5c2c1f40ab5ed5913384dfe, f-af1d33177f85bb724a59409d, f-afab18c494070a30f89822fd, f-afab5ae485c4c80c85a01dc3, f-b4dca0d06b60c24ed32632d1, f-bae4c5b4a464df5d0701862c, f-bb41b3ea86f6b11000c26c31, f-bc20dfd7a366f556055d5122, f-bde8b961f3039beb87f72b5d, f-c108867a05c385168931104d, f-c605b741724d702eb619494c, f-c9cf32874f7810d6ca4c648f, f-cbe578edaaa3cb8b46ead5d9, f-d0f1d0453dbfd6cf5ce99dd2, f-d6801a199420d3f498daa0e7, f-d7ac5354ec2b42e35fdca2d0, f-d8c1866ce68c839438bcab4e, f-df98c673cae9615374b4c69c, f-e496918043f8191f050cb55c, f-e651a9fffdbc2d7d0f9b5948, f-e76e201ed63cddd676e41a50, f-e9cfed7510cac91d9c95526f, f-eb019c2e3cf7d8b64e10f7ef, f-ecfbec67afb8c8d8958f13b5, f-efb48c3b4fdc5d7a7d2b0d69, f-f120af62dc7e43546a5d389c, f-f3b61be43a349f38981929c9, f-f5a1067f90652bc7fae6543e, f-f7bc6f9a9038c96e0f331d55, f-fb694a905b807a9775710d6d

ru · official · sha256:d9802e6abc67ebb3ecbb10aa443f2e84f3c9ee66e35d38bfc51852896f5b3665RU

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ: БИСЕКЦИЯ, НЬЮТОН, ТРАПЕЦИИ И СИМПСОН, ЭЙЛЕР И РУНГЕ — КУТТА Настоящий документ является АВТОРСКИМ ИЗЛОЖЕНИЕМ, составленным для целей формализации. Он описывает устройство шести численных методов: деления отрезка пополам, метода Ньютона, составных методов трапеций и Симпсона, явного метода Эйлера и классического метода Рунге — Кутты четвёртого порядка. Изложение не воспроизводит ни один учебник; происхождение каждого метода названо при его описании локатором. Описание отвечает на вопрос об устройстве метода и не выполняет его: ни одна функция здесь не вычисляется. Численные методы отличаются от прочих алгоритмов настоящего собрания тремя вещами, и все три названы при каждом описании: условиями СХОДИМОСТИ, оценкой ТОЧНОСТИ и критерием ОСТАНОВКИ. Метод без критерия остановки не есть алгоритм; метод, у которого не названы условия сходимости, обещает больше, чем доказано.