Источник / закреплённая редакция
Differentiation Rules
Источник пакета openstax.calculus_derivatives · OpenStax Calculus, ch. 3 Derivatives, module m53575
- work
- urn:openstax:clir:calculus-derivatives#M53575
- номер
- OpenStax Calculus, ch. 3 Derivatives, module m53575
- вид
- urn:openstax:clir:calculus-derivatives#treatise
m53575/index.cnxml at commit 8dbc2ce (main, 2026-07-15)
- edition
- urn:openstax:clir:calculus-derivatives#M53575_MAIN
- язык
- en
- официальность
- official
- материализация
- PINNED_OFFICIAL_BYTES
- жизненный цикл
- adopted: 2026-07-15
Публикации
| URI | Тип | documentHash | Получено |
|---|---|---|---|
| https://raw.githubusercontent.com/openstax/osbooks-calculus-bundle/8dbc2ce19e804924b2517b89ac72ee45be949d15/modules/m53575/index.cnxml | application/xml; charset=utf-8 | sha256:3c3beba11831d0ffe0994cd1eeca05bb5d72519c3f9ff1f420ac0cadd80a931b | 2026-09-12T00:00:00Z |
Фрагменты — 6
module/m53575#fs-id1169738955425 · section · на него ссылаются: 1
en · official · sha256:e82969a494127ad63376efb3e5058b9824ec957889dae571b9dc7a895ff6a5d7EN
<note id="fs-id1169738955425" class="theorem">
<title>The Constant Rule</title>
<para id="fs-id1169738878658">Let <m:math><m:mi>c</m:mi></m:math> be a constant.</para>
<para id="fs-id1169738853363">If <m:math><m:mrow><m:mi>f</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>=</m:mo><m:mi>c</m:mi><m:mo>,</m:mo></m:mrow></m:math> then <m:math><m:mrow><m:msup><m:mi>f</m:mi><m:mo>′</m:mo></m:msup><m:mo stretchy="false">(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">)</m:mo><m:mo>=</m:mo><m:mn>0</m:mn><m:mo>.</m:mo></m:mrow></m:math></para>
<para id="fs-id1169739024163">Alternatively, we may express this rule as</para>
<equation id="fs-id1169738861250" class="unnumbered"><label/><m:math><m:mrow><m:mfrac><m:mi>d</m:mi><m:mrow><m:mi>d</m:mi><m:mi>x</m:mi></m:mrow></m:mfrac><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>c</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>=</m:mo><m:mn>0.</m:mn></m:mrow></m:math></equation>
</note>Ссылаются нормы: ConstantRuleJustifies
module/m53575#fs-id1169736617597 · section
en · official · sha256:a7e47afb7b76ae6deb278e2131a4af085d2ba195d76b98019ade36b5fb0bcf50EN
<note id="fs-id1169736617597" class="theorem">
<title>Extended Power Rule</title>
<para id="fs-id1169736617603">If <m:math><m:mi>k</m:mi></m:math> is a negative integer, then</para>
<equation id="fs-id1169736617610" class="unnumbered"><label/><m:math><m:mrow><m:mfrac><m:mi>d</m:mi><m:mrow><m:mi>d</m:mi><m:mi>x</m:mi></m:mrow></m:mfrac><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mrow><m:msup><m:mi>x</m:mi><m:mi>k</m:mi></m:msup></m:mrow><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>=</m:mo><m:mi>k</m:mi><m:msup><m:mi>x</m:mi><m:mrow><m:mi>k</m:mi><m:mo>−</m:mo><m:mn>1</m:mn></m:mrow></m:msup><m:mo>.</m:mo></m:mrow></m:math></equation>
</note>module/m53575#fs-id1169736615212 · section · на него ссылаются: 1
en · official · sha256:de2820c5e3445b86f35c3e6687e558af0b1fbfe27ae30deebb4b6e8d61c1801fEN
<note id="fs-id1169736615212" class="theorem">
<title>The Power Rule</title>
<para id="fs-id1169738850005">Let <m:math><m:mi>n</m:mi></m:math> be a positive integer. If <m:math><m:mrow><m:mi>f</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>=</m:mo><m:msup><m:mi>x</m:mi><m:mi>n</m:mi></m:msup><m:mo>,</m:mo></m:mrow></m:math> then</para>
<equation id="fs-id1169739269835" class="unnumbered"><label/><m:math><m:mrow><m:msup><m:mi>f</m:mi><m:mo>′</m:mo></m:msup><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>=</m:mo><m:mi>n</m:mi><m:msup><m:mi>x</m:mi><m:mrow><m:mi>n</m:mi><m:mo>−</m:mo><m:mn>1</m:mn></m:mrow></m:msup><m:mo>.</m:mo></m:mrow></m:math></equation>
<para id="fs-id1169739031758">Alternatively, we may express this rule as</para>
<equation id="fs-id1169739225629" class="unnumbered"><label/><m:math><m:mrow><m:mfrac><m:mi>d</m:mi><m:mrow><m:mi>d</m:mi><m:mi>x</m:mi></m:mrow></m:mfrac><m:msup><m:mi>x</m:mi><m:mi>n</m:mi></m:msup><m:mo>=</m:mo><m:mi>n</m:mi><m:msup><m:mi>x</m:mi><m:mrow><m:mi>n</m:mi><m:mo>−</m:mo><m:mn>1</m:mn></m:mrow></m:msup><m:mo>.</m:mo></m:mrow></m:math></equation>
</note>Ссылаются нормы: PowerRuleJustifies
module/m53575#fs-id1169739298175 · section · на него ссылаются: 1
en · official · sha256:d7630c041ef4b9a5b0c13bf607683d97cae3aac36242377476d47c02328160bdEN
<note id="fs-id1169739298175" class="theorem">
<title>Product Rule</title>
<para id="fs-id1169739298182">Let <m:math><m:mrow><m:mi>f</m:mi><m:mo stretchy="false">(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">)</m:mo></m:mrow></m:math> and <m:math><m:mrow><m:mi>g</m:mi><m:mo stretchy="false">(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">)</m:mo></m:mrow></m:math> be differentiable functions. Then</para>
<equation id="fs-id1169739326645" class="unnumbered"><label/><m:math><m:mrow><m:mfrac><m:mi>d</m:mi><m:mrow><m:mi>d</m:mi><m:mi>x</m:mi></m:mrow></m:mfrac><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mrow><m:mi>f</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mi>g</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>=</m:mo><m:mfrac><m:mi>d</m:mi><m:mrow><m:mi>d</m:mi><m:mi>x</m:mi></m:mrow></m:mfrac><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mrow><m:mi>f</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>·</m:mo><m:mi>g</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>+</m:mo><m:mfrac><m:mi>d</m:mi><m:mrow><m:mi>d</m:mi><m:mi>x</m:mi></m:mrow></m:mfrac><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mrow><m:mi>g</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>·</m:mo><m:mi>f</m:mi><m:mo stretchy="false">(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">)</m:mo><m:mo>.</m:mo></m:mrow></m:math></equation>
<para id="fs-id1169739187834">That is,</para>
<equation id="fs-id1169739187837" class="unnumbered"><label/><m:math><m:mrow><m:mtext>if</m:mtext><m:mspace width="0.2em"/><m:mi>j</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>=</m:mo><m:mi>f</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mi>g</m:mi><m:mo stretchy="false">(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">)</m:mo><m:mo>,</m:mo><m:mtext>then</m:mtext><m:mspace width="0.2em"/><m:msup><m:mi>j</m:mi><m:mo>′</m:mo></m:msup><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>=</m:mo><m:msup><m:mi>f</m:mi><m:mo>′</m:mo></m:msup><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mi>g</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>+</m:mo><m:msup><m:mi>g</m:mi><m:mo>′</m:mo></m:msup><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mi>f</m:mi><m:mo stretchy="false">(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">)</m:mo><m:mo>.</m:mo></m:mrow></m:math></equation>
<para id="fs-id1169739269717">This means that the derivative of a product of two functions is the derivative of the first function times the second function plus the derivative of the second function times the first function.</para>
</note>Ссылаются нормы: ProductRuleJustifies
module/m53575#fs-id1169736662915 · section · на него ссылаются: 1
en · official · sha256:e8fdb62b8726b7423701414935da809acaa7966d57c503c55e20f3893a308a4cEN
<note id="fs-id1169736662915" class="theorem">
<title>The Quotient Rule</title>
<para id="fs-id1169736662921">Let <m:math><m:mrow><m:mi>f</m:mi><m:mo stretchy="false">(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">)</m:mo></m:mrow></m:math> and <m:math><m:mrow><m:mi>g</m:mi><m:mo stretchy="false">(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">)</m:mo></m:mrow></m:math> be differentiable functions. Then</para>
<equation id="fs-id1169739336009" class="unnumbered"><label/><m:math><m:mrow><m:mfrac><m:mi>d</m:mi><m:mrow><m:mi>d</m:mi><m:mi>x</m:mi></m:mrow></m:mfrac><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mrow><m:mfrac><m:mrow><m:mi>f</m:mi><m:mo stretchy="false">(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">)</m:mo></m:mrow><m:mrow><m:mi>g</m:mi><m:mo stretchy="false">(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">)</m:mo></m:mrow></m:mfrac></m:mrow><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>=</m:mo><m:mfrac><m:mrow><m:mfrac><m:mi>d</m:mi><m:mrow><m:mi>d</m:mi><m:mi>x</m:mi></m:mrow></m:mfrac><m:mo stretchy="false">(</m:mo><m:mi>f</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo stretchy="false">)</m:mo><m:mo>·</m:mo><m:mi>g</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>−</m:mo><m:mfrac><m:mi>d</m:mi><m:mrow><m:mi>d</m:mi><m:mi>x</m:mi></m:mrow></m:mfrac><m:mo stretchy="false">(</m:mo><m:mi>g</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo stretchy="false">)</m:mo><m:mo>·</m:mo><m:mi>f</m:mi><m:mo stretchy="false">(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">)</m:mo></m:mrow><m:mrow><m:msup><m:mrow><m:mo stretchy="false">(</m:mo><m:mi>g</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo stretchy="false">)</m:mo></m:mrow><m:mn>2</m:mn></m:msup></m:mrow></m:mfrac><m:mo>.</m:mo></m:mrow></m:math></equation>
<para id="fs-id1169739190663">That is,</para>
<equation id="fs-id1169739190666" class="unnumbered"><label/><m:math><m:mrow><m:mtext>if</m:mtext><m:mspace width="0.2em"/><m:mi>j</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>=</m:mo><m:mfrac><m:mrow><m:mi>f</m:mi><m:mo stretchy="false">(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">)</m:mo></m:mrow><m:mrow><m:mi>g</m:mi><m:mo stretchy="false">(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">)</m:mo></m:mrow></m:mfrac><m:mo>,</m:mo><m:mtext>then</m:mtext><m:mspace width="0.2em"/><m:msup><m:mi>j</m:mi><m:mo>′</m:mo></m:msup><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>=</m:mo><m:mfrac><m:mrow><m:msup><m:mi>f</m:mi><m:mo>′</m:mo></m:msup><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mi>g</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>−</m:mo><m:msup><m:mi>g</m:mi><m:mo>′</m:mo></m:msup><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mi>f</m:mi><m:mo stretchy="false">(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">)</m:mo></m:mrow><m:mrow><m:msup><m:mrow><m:mo stretchy="false">(</m:mo><m:mi>g</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo stretchy="false">)</m:mo></m:mrow><m:mn>2</m:mn></m:msup></m:mrow></m:mfrac><m:mo>.</m:mo></m:mrow></m:math></equation>
</note>Ссылаются нормы: QuotientRuleJustifies
module/m53575#fs-id1169739305071 · section · на него ссылаются: 2
en · official · sha256:e36e4d2fafe633d730278a75c7137c7cad0e9cde393b5d8d19156ca39ab4314bEN
<note id="fs-id1169739305071" class="theorem">
<title>Sum, Difference, and Constant Multiple Rules</title>
<para id="fs-id1169736611426">Let <m:math><m:mrow><m:mi>f</m:mi><m:mo stretchy="false">(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">)</m:mo></m:mrow></m:math> and <m:math><m:mrow><m:mi>g</m:mi><m:mo stretchy="false">(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">)</m:mo></m:mrow></m:math> be differentiable functions and <m:math><m:mi>k</m:mi></m:math> be a constant. Then each of the following equations holds.</para>
<para id="fs-id1169739039653"><term id="term-00003">Sum Rule</term>. The derivative of the sum of a function <m:math><m:mi>f</m:mi></m:math> and a function <m:math><m:mi>g</m:mi></m:math> is the same as the sum of the derivative of <m:math><m:mi>f</m:mi></m:math> and the derivative of <m:math><m:mrow><m:mi>g</m:mi><m:mo>.</m:mo></m:mrow></m:math></para>
<equation id="fs-id1169739179597" class="unnumbered"><label/><m:math><m:mrow><m:mfrac><m:mi>d</m:mi><m:mrow><m:mi>d</m:mi><m:mi>x</m:mi></m:mrow></m:mfrac><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mrow><m:mi>f</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>+</m:mo><m:mi>g</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>=</m:mo><m:mfrac><m:mi>d</m:mi><m:mrow><m:mi>d</m:mi><m:mi>x</m:mi></m:mrow></m:mfrac><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mrow><m:mi>f</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>+</m:mo><m:mfrac><m:mi>d</m:mi><m:mrow><m:mi>d</m:mi><m:mi>x</m:mi></m:mrow></m:mfrac><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mrow><m:mi>g</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>;</m:mo></m:mrow></m:math></equation>
<para id="fs-id1169739351562">that is,</para>
<equation id="fs-id1169739008128" class="unnumbered"><label/><m:math><m:mrow><m:mtext>for</m:mtext><m:mspace width="0.2em"/><m:mi>j</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>=</m:mo><m:mi>f</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>+</m:mo><m:mi>g</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>,</m:mo><m:msup><m:mi>j</m:mi><m:mo>′</m:mo></m:msup><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>=</m:mo><m:msup><m:mi>f</m:mi><m:mo>′</m:mo></m:msup><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>+</m:mo><m:msup><m:mi>g</m:mi><m:mo>′</m:mo></m:msup><m:mo stretchy="false">(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">)</m:mo><m:mo>.</m:mo></m:mrow></m:math></equation>
<para id="fs-id1169739000178"><term id="term-00004">Difference Rule</term>. The derivative of the difference of a function <emphasis effect="italics">f</emphasis> and a function <emphasis effect="italics">g</emphasis> is the same as the difference of the derivative of <emphasis effect="italics">f</emphasis> and the derivative of <m:math><m:mrow><m:mi>g</m:mi><m:mtext>:</m:mtext></m:mrow></m:math></para>
<equation id="fs-id1169736611311" class="unnumbered"><label/><m:math><m:mrow><m:mfrac><m:mi>d</m:mi><m:mrow><m:mi>d</m:mi><m:mi>x</m:mi></m:mrow></m:mfrac><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mrow><m:mi>f</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>−</m:mo><m:mi>g</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>=</m:mo><m:mfrac><m:mi>d</m:mi><m:mrow><m:mi>d</m:mi><m:mi>x</m:mi></m:mrow></m:mfrac><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mrow><m:mi>f</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>−</m:mo><m:mfrac><m:mi>d</m:mi><m:mrow><m:mi>d</m:mi><m:mi>x</m:mi></m:mrow></m:mfrac><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mrow><m:mi>g</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>;</m:mo></m:mrow></m:math></equation>
<para id="fs-id1169739005930">that is,</para>
<equation id="fs-id1169739208882" class="unnumbered"><label/><m:math><m:mrow><m:mtext>for</m:mtext><m:mspace width="0.2em"/><m:mi>j</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>=</m:mo><m:mi>f</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>−</m:mo><m:mi>g</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>,</m:mo><m:msup><m:mi>j</m:mi><m:mo>′</m:mo></m:msup><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>=</m:mo><m:msup><m:mi>f</m:mi><m:mo>′</m:mo></m:msup><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>−</m:mo><m:msup><m:mi>g</m:mi><m:mo>′</m:mo></m:msup><m:mo stretchy="false">(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">)</m:mo><m:mo>.</m:mo></m:mrow></m:math></equation>
<para id="fs-id1169739195371"><term id="term-00005">Constant Multiple Rule</term>. The derivative of a constant <emphasis effect="italics">k</emphasis> multiplied by a function <emphasis effect="italics">f</emphasis> is the same as the constant multiplied by the derivative: <m:math/></para><equation id="fs-id1169739340266" class="unnumbered"><label/><m:math><m:mrow><m:mfrac><m:mi>d</m:mi><m:mrow><m:mi>d</m:mi><m:mi>x</m:mi></m:mrow></m:mfrac><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mrow><m:mi>k</m:mi><m:mi>f</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>=</m:mo><m:mi>k</m:mi><m:mfrac><m:mi>d</m:mi><m:mrow><m:mi>d</m:mi><m:mi>x</m:mi></m:mrow></m:mfrac><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mrow><m:mi>f</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>;</m:mo></m:mrow></m:math></equation>
<para id="fs-id1169739179540">that is,</para>
<equation id="fs-id1169739179543" class="unnumbered"><label/><m:math><m:mrow><m:mtext>for</m:mtext><m:mspace width="0.2em"/><m:mi>j</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>=</m:mo><m:mi>k</m:mi><m:mi>f</m:mi><m:mo stretchy="false">(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">)</m:mo><m:mo>,</m:mo><m:msup><m:mi>j</m:mi><m:mo>′</m:mo></m:msup><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>=</m:mo><m:mi>k</m:mi><m:msup><m:mi>f</m:mi><m:mo>′</m:mo></m:msup><m:mo stretchy="false">(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">)</m:mo><m:mo>.</m:mo></m:mrow></m:math></equation>
</note>Ссылаются нормы: ConstantMultipleJustifies, SumRuleJustifies
Хэш рядом с текстом — sha256 его точных байтов. Он и есть проверка того, что показанный текст совпадает с закреплённым в пакете: расхождение роняет статику оракула.