Zur Elektrodynamik bewegter Körper

de · official · sha256:bcce2eb651aae03d4aa5d807c1eca52bf7bc26256e8665436e8c9eea333c612bDE

§ 1. Definition der Gleichzeitigkeit. Es liege ein Koordinatensystem vor, in welchem die Newtonschen mechanischen Gleichungen gelten. Wir nennen dies Koordinatensystem zur sprachlichen Unterscheidung von später einzuführenden Koordinatensystemen und zur Präzisierung der Vorstellung das „ruhende System“. Ruht ein materieller Punkt relativ zu diesem Koordinatensystem, so kann seine Lage relativ zu letzterem durch starre Maßstäbe unter Benutzung der Methoden der euklidischen Geometrie bestimmt und in kartesischen Koordinaten ausgedrückt werden. Wollen wir die Bewegung eines materiellen Punktes beschreiben, so geben wir die Werte seiner Koordinaten in Funktion der Zeit. Es ist nun wohl im Auge zu behalten, daß eine derartige mathematische Beschreibung erst dann einen physikalischen Sinn hat, wenn man sich vorher darüber klar geworden ist, was hier unter „Zeit“ verstanden wird. Wir haben zu berücksichtigen, daß alle unsere Urteile, in welchen die Zeit eine Rolle spielt, immer Urteile über gleichzeitige Ereignisse sind. Wenn ich z. B. sage: „Jener Zug kommt hier um 7 Uhr an,“ so heißt dies etwa: „Das Zeigen des kleinen Zeigers meiner Uhr auf 7 und das Ankommen des Zuges sind gleichzeitige Ereignisse.“ [Anm: Die Ungenauigkeit, welche in dem Begriffe der Gleichzeitigkeit zweier Ereignisse an (annähernd) demselben Orte steckt und gleichfalls durch eine Abstraktion überbrückt werden muß, soll hier nicht erörtert werden.] Es könnte scheinen, daß alle die Definition der „Zeit“ betreffenden Schwierigkeiten dadurch überwunden werden könnten, daß ich an Stelle der „Zeit“ die „Stellung des kleinen Zeigers meiner Uhr“ setze. Eine solche Definition genügt in der Tat, wenn es sich darum handelt, eine Zeit zu definieren ausschließlich für den Ort, an welchem sich die Uhr eben befindet; die Definition genügt aber nicht mehr, sobald es sich darum handelt, an verschiedenen Orten stattfindende Ereignisreihen miteinander zeitlich zu verknüpfen, oder — was auf dasselbe hinausläuft — Ereignisse zeitlich zu werten, welche in von der Uhr entfernten Orten stattfinden. Wir könnten uns allerdings damit begnügen, die Ereignisse dadurch zeitlich zu werten, daß ein samt der Uhr im Koordinatenursprung befindlicher Beobachter jedem von einem zu wertenden Ereignis Zeugnis gebenden, durch den leeren Raum zu ihm gelangenden Lichtzeichen die entsprechende Uhrzeigerstellung zuordnet. Eine solche Zuordnung bringt aber den Übelstand mit sich, daß sie vom Standpunkte des mit der Uhr versehenen Beobachters nicht unabhängig ist, wie wir durch die Erfahrung wissen. Zu einer weit praktischeren Festsetzung gelangen wir durch folgende Betrachtung. Befindet sich im Punkte $A$ des Raumes eine Uhr, so kann ein in $A$ befindlicher Beobachter die Ereignisse in der unmittelbaren Umgebung von $A$ zeitlich werten durch Aufsuchen der mit diesen Ereignissen gleichzeitigen Uhrzeigerstellungen. Befindet sich auch im Punkte $B$ des Raumes eine Uhr — wir wollen hinzufügen, „eine Uhr von genau derselben Beschaffenheit wie die in $A$ befindliche“ — so ist auch eine zeitliche Wertung der Ereignisse in der unmittelbaren Umgebung von $B$ durch einen in $B$ befindlichen Beobachter möglich. Es ist aber ohne weitere Festsetzung nicht möglich, ein Ereignis in $A$ mit einem Ereignis in $B$ zeitlich zu vergleichen; wir haben bisher nur eine „$A$-Zeit“ und eine „$B$-Zeit“, aber keine für $A$ und $B$ gemeinsame „Zeit“ definiert. Die letztere Zeit kann nun definiert werden, indem man durch Definition festsetzt, daß die „Zeit“, welche das Licht braucht, um von $A$ nach $B$ zu gelangen, gleich ist der „Zeit“, welche es braucht, um von $B$ nach $A$ zu gelangen. Es gehe nämlich ein Lichtstrahl zur „$A$-Zeit“ $t_{A}$ von $A$ nach $B$ ab, werde zur „$B$-Zeit“ $t_{B}$ in $B$ gegen $A$ zu reflektiert und gelange zur „$A$-Zeit“ $t'_{A}$ nach $A$ zurück. Die beiden Uhren laufen definitionsgemäß synchron, wenn $t_{B}-t_{A}=t'_{A}-t_{B}$ Wir nehmen an, daß diese Definition des Synchronismus in widerspruchsfreier Weise möglich sei, und zwar für beliebig viele Punkte, daß also allgemein die Beziehungen gelten: 1. Wenn die Uhr in $B$ synchron mit der Uhr in $A$ läuft, so läuft die Uhr in $A$ synchron mit der Uhr in $B$. 2. Wenn die Uhr in $A$ sowohl mit der Uhr in $B$ als auch mit der Uhr in $C$ synchron läuft, so laufen auch die Uhren in $B$ und $C$ synchron relativ zueinander. Wir haben so unter Zuhilfenahme gewisser (gedachter) physikalischer Erfahrungen festgelegt, was unter synchron laufenden, an verschiedenen Orten befindlichen, ruhenden Uhren zu verstehen ist und damit offenbar eine Definition von „gleichzeitig“ und „Zeit“ gewonnen. Die „Zeit“ eines Ereignisses ist die mit dem Ereignis gleichzeitige Angabe einer am Orte des Ereignisses befindlichen, ruhenden Uhr, welche mit einer bestimmten, ruhenden Uhr, und zwar für alle Zeitbestimmungen mit der nämlichen Uhr, synchron läuft. Wir setzen noch der Erfahrung gemäß fest, daß die Größe $\frac{2\overline{AB}}{t'_{A}-t_{A}}=V$ eine universelle Konstante (die Lichtgeschwindigkeit im leeren Raume) sei. Wesentlich ist, daß wir die Zeit mittels im ruhenden System ruhender Uhren definiert haben; wir nennen die eben definierte Zeit wegen dieser Zugehörigkeit zum ruhenden System „die Zeit des ruhenden Systems“.

Ссылаются нормы: ClocksNotSynchronousByDefinition, ClocksSynchronousByDefinition, Einstein1905AppliesToInertialFrames, Einstein1905SilentOnAcceleration, clocks_are_synchronous, light_round_trip, stance-ether-frame, stance-local-time, theory-declared, theory-edition, theory-key

de · official · sha256:fcb5d5bd667d10b135ed6b378adc9bdf0610c3ca931e30aaf4be6577e071c16fDE

§ 10. Dynamik des (langsam beschleunigten) Elektrons. In einem elektromagnetischen Felde bewege sich ein punktförmiges, mit einer elektrischen Ladung $\varepsilon$ versehenes Teilchen (im folgenden „Elektron“ genannt), über dessen Bewegungsgesetz wir nur folgendes annehmen: Ruht das Elektron in einer bestimmten Epoche, so erfolgt in dem nächsten Zeitteilchen die Bewegung des Elektrons nach den Gleichungen $\begin{align}\mu\frac{d^{2}x}{dt^{2}} & =\epsilon X\\ \mu\frac{d^{2}y}{dt^{2}} & =\epsilon Y\\ \mu\frac{d^{2}z}{dt^{2}} & =\epsilon Z \end{align}$ wobei $x,y,z$ die Koordinaten des Elektrons, $\mu$ die Masse des Elektrons bedeutet, sofern dasselbe langsam bewegt ist. Es besitze nun zweitens das Elektron in einer gewissen Zeitepoche die Geschwindigkeit $v$. Wir suchen das Gesetz, nach welchem sich das Elektron im unmittelbar darauf folgenden Zeitteilchen bewegt. Ohne die Allgemeinheit der Betrachtung zu beeinflussen, können und wollen wir annehmen, daß das Elektron in dem Momente, wo wir es ins Auge fassen, sich im Koordinatensprung befinde und sich längs der $X$-Achse des Systems $K$ mit der Geschwindigkeit $v$ bewege. Es ist dann einleuchtend, daß das Elektron im genannten Momente ($t=0$ ) relativ zu einem längs der $X$-Achse mit der konstanten Geschwindigkeit $v$ parallelbewegten Koordinatensystem $k$ ruht. Aus der oben gemachten Voraussetzung in Verbindung mit dem Relativitätsprinzip ist klar, daß sich das Elektron in der unmittelbar folgenden Zeit (für kleine Werte von $t$) vom System $k$ aus betrachtet nach den Gleichungen bewegt: $\begin{align}\mu\frac{d^{2}\xi}{d\tau^{2}} & =\epsilon X',\\ \mu\frac{d^{2}\eta}{d\tau^{2}} & =\epsilon Y',\\ \mu\frac{d^{2}\zeta}{d\tau^{2}} & =\epsilon Z', \end{align}$ wobei die Zeichen $\xi,\eta,\zeta,X',Y',Z'$ sich auf das System $k$ beziehen. Setzen wir noch fest, daß für $t=x=y=z=0$ $\tau=\xi=\eta=\zeta=0$ sein soll, so gelten die Transformationsgleichungen der §§ 3 und 6, so daß gilt: $\begin{align}\tau= & \beta\left(t-\frac{v}{V^{2}}x\right),\\ \xi= & \beta(x-vt), & X'= & X,\\ \eta= & y, & Y'= & \beta(Y-\frac{v}{V}N),\\ \zeta= & z, & Z'= & \beta(Z+\frac{v}{V}M). \end{align}$ Mit Hilfe dieser Gleichungen transformieren wir die obigen Bewegungsgleichungen vom System $k$ auf das System $K$ und erhalten: $(A)\qquad\begin{cases} \frac{d^{2}x}{dt^{2}} & =\frac{\epsilon}{\mu}\frac{1}{\beta^{3}}X,\\ \frac{d^{2}y}{dt^{2}} & =\frac{\epsilon}{\mu}\frac{1}{\beta}\left(Y-\frac{v}{V}N\right),\\ \frac{d^{2}z}{dt^{2}} & =\frac{\epsilon}{\mu}\frac{1}{\beta}\left(Z+\frac{v}{V}M\right). \end{cases}$ Wir fragen nun in Anlehnung an die übliche Betrachtungsweise nach der „longitudinalen“ und „transversalen“ Masse des bewegten Elektrons. Wir schreiben die Gleichungen (A) in der Form $\begin{align}\mu\beta^{3}\frac{d^{2}x}{dt^{2}} & =\epsilon X =\epsilon X',\\ \mu\beta^{2}\frac{d^{2}y}{dt^{2}} & =\epsilon\beta\left(Y-\frac{v}{V}N\right) =\epsilon Y',\\ \mu\beta^{2}\frac{d^{2}z}{dt^{2}} & =\epsilon\beta\left(Z+\frac{v}{V}M\right) =\epsilon Z', \end{align}$ und bemerken zunächst, daß $\varepsilon X',\varepsilon Y',\varepsilon Z'$ die Komponenten der auf das Elektron wirkenden ponderomotorischen Kraft sind, und zwar in einem in diesem Moment mit dem Elektron mit gleicher Geschwindigkeit wie dieses bewegten System betrachtet. (Diese Kraft könnte beispielsweise mit einer im letzten System ruhenden Federwage gemessen werden.) Wenn wir nun diese Kraft schlechtweg „die auf das Elektron wirkende Kraft“ nennen und die Gleichung Massenzahl × Beschleunigungszahl = Kraftzahl aufrechterhalten, und wenn wir ferner festsetzen, daß die Beschleunigungen im ruhenden System $K$ gemessen werden sollen, so erhalten wir aus obigen Gleichungen: Longitudinale Masse $=\frac{\mu}{\left(\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}\right)^{3}},$ Transversale Masse $=\frac{\mu}{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}.$ Natürlich würde man bei anderer Definition der Kraft und der Beschleunigung andere Zahlen für die Massen erhalten; man ersieht daraus, daß man bei der Vergleichung verschiedener Theorien der Bewegung des Elektrons sehr vorsichtig verfahren muß. Wir bemerken, daß diese Resultate über die Masse auch für die ponderabeln materiellen Punkte gilt; denn ein ponderabler materieller Punkt kann durch Zufügen einer beliebig kleinen elektrischen Ladung zu einem Elektron (in unserem Sinne) gemacht werden. Wir bestimmen die kinetische Energie des Elektrons. Bewegt sich ein Elektron vom Koordinatenursprung des Systems $K$ aus mit der Anfangsgeschwindigkeit 0 beständig auf der $X$-Achse unter der Wirkung einer elektrostatischen Kraft $X$ , so ist klar, daß die dem elektrostatischen Felde entzogene Energie den Wert $\int\varepsilon Xdx$ hat. Da das Elektron langsam beschleunigt sein soll und infolgedessen keine Energie in Form von Strahlung abgeben möge, so muß die dem elektrostatischen Felde entzogene Energie gleich der Bewegungsenergie $W$ des Elektrons gesetzt werden. Man erhält daher, indem man beachtet, daß während des ganzen betrachteten Bewegungsvorganges die erste der Gleichungen (A) gilt: $W=\int\epsilon X\,dx=\int\limits_{0}^{v}\beta^{3}v\,dv=\mu V^{2}\left\{ \frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}}-1\right\} .$ $W$ wird also für $v=V$ unendlich groß. Überlichtgeschwindigkeiten haben — wie bei unseren früheren Resultaten — keine Existenzmöglichkeit. Auch dieser Ausdruck für die kinetische Energie muß dem oben angeführten Argument zufolge ebenso für ponderable Massen gelten. Wir wollen nun die aus dem Gleichungssystem (A) resultierenden, dem Experimente zugänglichen Eigenschaften der Bewegung des Elektrons aufzählen. 1. Aus der zweiten Gleichung des Systems (A) folgt, daß eine elektrische Kraft $Y$ und eine magnetische Kraft $N$ dann gleich stark ablenkend wirken auf ein mit der Geschwindigkeit $v$ bewegtes Elektron, wenn $Y=N.v/V$. Man ersieht also, daß die Ermittelung der Geschwindigkeit des Elektrons aus dem Verhältnis der magnetischen Ablenkbarkeit $A_{m}$ und der elektrischen Ablenkbarkeit $A_{e}$ nach unserer Theorie für beliebige Geschwindigkeiten möglich ist durch Anwendung des Gesetzes: $\frac{A_{m}}{A_{e}}=\frac{v}{V}.$ Diese Beziehung ist der Prüfung durch das Experiment zugänglich, da die Geschwindigkeit des Elektrons auch direkt, z. B. mittels rasch oszillierender elektrischer und magnetischer Felder, gemessen werden kann. 2. Aus der Ableitung für die kinetische Energie des Elektrons folgt, daß zwischen der durchlaufenen Potentialdifferenz und der erlangten Geschwindigkeit $v$ des Elektrons die Beziehung gelten muß: $P=\int X\ dx=\frac{\mu}{\epsilon}V^{2}\left\{ \frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}}-1\right\} .$ 3. Wir berechnen den Krümmungsradius $R$ der Bahn, wenn eine senkrecht zur Geschwindigkeit des Elektrons wirkende magnetische Kraft $N$ (als einzige ablenkende Kraft) vorhanden ist. Aus der zweiten der Gleichungen (A) erhalten wir: $-\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=\frac{v^{2}}{R}=\frac{\epsilon}{\mu}\frac{v}{V}N\cdot\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}$ oder $R=V^{2}\frac{\mu}{\epsilon}\cdot\frac{\frac{v}{V}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}}\cdot\frac{1}{N}.$ Diese drei Beziehungen sind ein vollständiger Ausdruck für die Gesetze, nach denen sich gemäß vorliegender Theorie das Elektron bewegen muß. Zum Schlusse bemerke ich, daß mir beim Arbeiten an dem hier behandelten Probleme mein Freund und Kollege M. Besso treu zur Seite stand und daß ich demselben manche wertvolle Anregung verdanke. Bern, Juni 1905. (Eingegangen 30. Juni 1905.)

de · official · sha256:3b81cf40e101e9f12bf6fc97046b1f543b097b104ee01cde14a6f8e51df486b8DE

§ 2. Über die Relativität von Längen und Zeiten. Die folgenden Überlegungen stützen sich auf das Relativitätsprinzip und auf das Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit, welche beiden Prinzipien wir folgendermaßen definieren. 1. Die Gesetze, nach denen sich die Zustände der physikalischen Systeme ändern, sind unabhängig davon, auf welches von zwei relativ zueinander in gleichförmiger Translationsbewegung befindlichen Koordinatensystemen diese Zustandsänderungen bezogen werden. 2. Jeder Lichtstrahl bewegt sich im „ruhenden“ Koordinatensystem mit der bestimmten Geschwindigkeit $V$, unabhängig davon, ob dieser Lichtstrahl von einem ruhenden oder bewegten Körper emittiert ist. Hierbei ist Geschwindigkeit ${=\rm \frac{Lichtweg}{Zeitdauer}}$, wobei „Zeitdauer“ im Sinne der Definition des § 1 aufzufassen ist. Es sei ein ruhender starrer Stab gegeben; derselbe besitze, mit einem ebenfalls ruhenden Maßstabe gemessen, die Länge $l$. Wir denken uns nun die Stabachse in die $X$-Achse des ruhenden Koordinatensystems gelegt und dem Stabe hierauf eine gleichförmige Paralleltranslationsbewegung (Geschwindigkeit $v$) längs der $X$-Achse im Sinne der wachsenden $x$ erteilt. Wir fragen nun nach der Länge des bewegten Stabes, welche wir uns durch folgende zwei Operationen ermittelt denken: a) Der Beobachter bewegt sich samt dem vorher genannten Maßstabe mit dem auszumessenden Stabe und mißt direkt durch Anlegen des Maßstabes die Länge des Stabes, ebenso, wie wenn sich auszumessender Stab, Beobachter und Maßstab in Ruhe befänden. b) Der Beobachter ermittelt mittels im ruhenden Systeme aufgestellter, gemäß § 1 synchroner, ruhender Uhren, in welchen Punkten des ruhenden Systems sich Anfang und Ende des auszumessenden Stabes zu einer bestimmten Zeit $t$ befinden. Die Entfernung dieser beiden Punkte, gemessen mit dem schon benutzten, in diesem Falle ruhenden Maßstabe ist ebenfalls eine Länge, welche man als „Länge des Stabes“ bezeichnen kann. Nach dem Relativitätsprinzip muß die bei der Operation a) zu findende Länge, welche wir „die Länge des Stabes im bewegten System“ nennen wollen, gleich der Länge $l$ des ruhenden Stabes sein. Die bei der Operation b) zu findende Länge, welche wir „die Länge des (bewegten) Stabes im ruhenden System“ nennen wollen, werden wir unter Zugrundelegung unserer beiden Prinzipien bestimmen und finden, daß sie von $l$ verschieden ist. Die allgemein gebrauchte Kinematik nimmt stillschweigend an, daß die durch die beiden erwähnten Operationen bestimmten Längen einander genau gleich seien, oder mit anderen Worten, daß ein bewegter starrer Körper in der Zeitepoche $t$ in geometrischer Beziehung vollständig durch denselben Körper, wenn er in bestimmter Lage ruht, ersetzbar sei. Wir denken uns ferner an den beiden Stabenden ($A$ und $B$ ) Uhren angebracht, welche mit den Uhren des ruhenden Systems synchron sind, d. h. deren Angaben jeweilen der „Zeit des ruhenden Systems“ an den Orten, an welchen sie sich gerade befinden, entsprechen; diese Uhren sind also „synchron im ruhenden System“. Wir denken uns ferner, daß sich bei jeder Uhr ein mit ihr bewegter Beobachter befinde, und daß diese Beobachter auf die beiden Uhren das im § 1 aufgestellte Kriterium für den synchronen Gang zweier Uhren anwenden. Zur Zeit [Anm: „Zeit“ bedeutet hier „Zeit des ruhenden Systems“ und zugleich „Zeigerstellung der bewegten Uhr, welche sich an dem Orte, von dem die Rede ist, befindet“.] $t_{A}$ gehe ein Lichtstrahl von $A$ aus, werde zur Zeit $t_{B}$ in $B$ reflektiert und gelange zur Zeit $t'_{A}$ nach $A$ zurück. Unter Berücksichtigung des Prinzipes von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit finden wir: $t_{B}-t_{A}=\frac{r_{AB}}{V-v}$ und $t'_{A}-t_{B}=\frac{r_{AB}}{V+v},$ wobei $r_{AB}$ die Länge des bewegten Stabes — im ruhenden System gemessen — bedeutet. Mit dem bewegten Stabe bewegte Beobachter würden also die beiden Uhren nicht synchron gehend finden, während im ruhenden System befindliche Beobachter die Uhren als synchron laufend erklären würden. Wir sehen also, daß wir dem Begriffe der Gleichzeitigkeit keine absolute Bedeutung beimessen dürfen, sondern daß zwei Ereignisse, welche, von einem Koordinatensystem aus betrachtet, gleichzeitig sind, von einem relativ zu diesem System bewegten System aus betrachtet, nicht mehr als gleichzeitige Ereignisse aufzufassen sind.

Ссылаются нормы: NoFringeShiftUnderInvariance, SimultaneityIsPreservedAtOnePlace, SimultaneityIsRelativeForSeparatedEvents, simultaneity_is_preserved, simultaneity_is_relative, stance-absolute-simultaneity, stance-light-invariance, stance-light-medium, stance-relativity

de · official · sha256:d827f8c32d9258d988546b560ea8f6f5ad97475a693178cea48a9b81005bd6c8DE

§ 3. Theorie der Koordinaten- und Zeittransformation von dem ruhenden auf ein relativ zu diesem in gleichförmiger Translationsbewegung befindliches System. Seien im „ruhenden“ Raume zwei Koordinatensysteme, d. h. zwei Systeme von je drei von einem Punkte ausgehenden, aufeinander senkrechten starren materiellen Linien, gegeben. Die $X$-Achsen beider Systeme mögen zusammenfallen, ihre $Y$- und $Z$-Achsen bezüglich parallel sein. Jedem Systeme sei ein starrer Maßstab und eine Anzahl Uhren beigegeben, und es seien beide Maßstäbe sowie alle Uhren beider Systeme einander genau gleich. Es werde nun dem Anfangspunkte des einen der beiden Systeme ($k$) eine (konstante) Geschwindigkeit $v$ in Richtung der wachsenden $x$ des anderen, ruhenden Systems ($K$) erteilt, welche sich auch den Koordinatenachsen, dem betreffenden Maßstabe sowie den Uhren mitteilen möge. Jeder Zeit $t$ des ruhenden Systems $K$ entspricht dann eine bestimmte Lage der Achsen des bewegten Systems und wir sind aus Symmetriegründen befugt anzunehmen, daß die Bewegung von $k$ so beschaffen sein kann, daß die Achsen des bewegten Systems zur Zeit $t$ (es ist mit „$t$“ immer eine Zeit des ruhenden Systems bezeichnet) den Achsen des ruhenden Systems parallel seien. Wir denken uns nun den Raum sowohl vom ruhenden System $K$ aus mittels des ruhenden Maßstabes als auch vom bewegten System $k$ mittels des mit ihm bewegten Maßstabes ausgemessen und so die Koordinaten $x,y,z$ bez. $\xi,\eta,\zeta$ ermittelt. Es werde ferner mittels der im ruhenden System befindlichen ruhenden Uhren durch Lichtsignale in der in § 1 angegebenen Weise die Zeit $t$ des ruhenden Systems für alle Punkte des letzteren bestimmt, in denen sich Uhren befinden; ebenso werde die Zeit $\tau$ des bewegten Systems für alle Punkte des bewegten Systems, in welchen sich relativ zu letzterem ruhende Uhren befinden, bestimmt durch Anwendung der in § 1 genannten Methode der Lichtsignale zwischen den Punkten, in denen sich die letzteren Uhren befinden. Zu jedem Wertsystem $x,y,z,t$, welches Ort und Zeit eines Ereignisses im ruhenden System vollkommen bestimmt, gehört ein jenes Ereignis relativ zum System $k$ festlegendes Wert System $\xi,\eta,\zeta,\tau$, und es ist nun die Aufgabe zu lösen, das diese Größen verknüpfende Gleichungssystem zu finden. Zunächst ist klar, daß die Gleichungen linear sein müssen wegen der Homogenitätseigenschaften, welche wir Raum und Zeit beilegen. Setzen wir $x'=x-vt$, so ist klar, daß einem im System $k$ ruhenden Punkte ein bestimmtes, von der Zeit unabhängiges Wertsystem $x',y,z$ zukommt. Wir bestimmen zuerst $\tau$ als Funktion von $x',y,z$ und $t$. Zu diesem Zwecke haben wir in Gleichungen auszudrücken, daß $\tau$ nichts anderes ist als der Inbegriff der Angaben von im System $k$ ruhenden Uhren, welche nach der im § 1 gegebenen Regel synchron gemacht worden sind. Vom Anfangspunkt des Systems $k$ aus werde ein Lichtstrahl zur Zeit $\tau_{0}$längs der $X$-Achse nach $x'$ gesandt und von dort zur Zeit $\tau_{1}$ nach dem Koordinatenursprung reflektiert, wo er zur Zeit $\tau_{2}$ anlange; so muß dann sein: $\frac{1}{2}(\tau_{0}+\tau_{2})=\tau_{1}$ oder, indem man die Argumente der Funktion $\tau$ beifügt und das Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit im ruhenden Systeme anwendet: $\frac{1}{2}\left[\tau(0,0,0,t)+\tau\left(0,0,0,\left\{ t+\frac{x'}{V-v}+\frac{x'}{V+v}\right\} \right)\right]$ $=\tau\left(x',0,0,t+\frac{x'}{V-v}\right).$ Hieraus folgt, wenn man $x'$ unendlich klein wählt: $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{V-v}+\frac{1}{V+v}\right)\frac{\partial\tau}{\partial t}=\frac{\partial\tau}{\partial x'}+\frac{1}{V-v}\frac{\partial\tau}{\partial t},$ oder $\frac{\partial\tau}{\partial x'}+\frac{v}{V^{2}-v^{2}}\frac{\partial\tau}{\partial t}=0.$ Es ist zu bemerken, daß wir statt des Koordinatenursprunges jeden anderen Punkt als Ausgangspunkt des Lichtstrahles hätten wählen können und es gilt deshalb die eben erhaltene Gleichung für alle Werte von $x',y,z$. Eine analoge Überlegung — auf die $H$- und $Z$-Achse angewandt — liefert, wenn man beachtet, daß sich das Licht längs dieser Achsen vom ruhenden System aus betrachtet stets mit der Geschwindigkeit $\sqrt{V^{2}-v^{2}}$ fortpflanzt: $\frac{\partial\tau}{\partial y}=0$ $\frac{\partial\tau}{\partial z}=0.$ Aus diesen Gleichungen folgt, da $\tau$ eine lineare Funktion ist: $\tau=a\left(t-\frac{v}{V^{2}-v^{2}}x'\right)$, wobei $a$ eine vorläufig unbekannte Funktion $\varphi(v)$ ist und der Kürze halber angenommen ist, daß im Anfangspunkte von $k$ für $\tau=0$ $t=0$ sei. Mit Hilfe dieses Resultates ist es leicht, die Größen $\xi,\eta,\zeta$ zu ermitteln, indem man durch Gleichungen ausdrückt, daß sich das Licht (wie das Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in Verbindung mit dem Relativitätsprinzip verlangt) auch im bewegten System gemessen mit der Geschwindigkeit $V$ fortpflanzt. Für einen zur Zeit $\tau=0$ in Richtung der wachsenden $\xi$ ausgesandten Lichtstrahl gilt: $\xi=V\tau$, oder $\xi=aV\left(t-\frac{v}{V^{2}-v^{2}}x'\right)$. Nun bewegt sich aber der Lichtstrahl relativ zum Anfangspunkt von $k$ im ruhenden System gemessen mit der Geschwindigkeit $V-v$, so daß gilt: $\frac{x'}{V-v}=t.$ Setzen wir diesen Wert von $t$ in die Gleichung für $\xi$ ein, so erhalten wir: $\xi=a\frac{V^{2}}{V^{2}-v^{2}}x'.$ Auf analoge Weise finden wir durch Betrachtung von längs den beiden anderen Achsen bewegte Lichtstrahlen: $\eta=V\tau=aV\left(t-\frac{v}{V^{2}-v^{2}}x'\right),$ wobei $\frac{y}{\sqrt{V^{2}-v^{2}}}=t;\ x'=0;$ also $\eta=a\frac{V}{\sqrt{V^{2}-v^{2}}}y$ und $\zeta=a\frac{V}{\sqrt{V^{2}-v^{2}}}z.$ Setzen wir für $x'$ seinen Wert ein, so erhalten wir: $\begin{align}\tau & =\varphi(v)\beta(t-\frac{v}{V^{2}}x),\\ \xi & =\varphi(v)\beta(x-vt),\\ \eta & =\varphi(v)y,\\ \zeta & =\varphi(v)z, \end{align}$ wobei $\beta=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}}$ und $\varphi$ eine vorläufig unbekannte Funktion von $v$ ist. Macht man über die Anfangslage des bewegten Systems und über den Nullpunkt von $\tau$ keinerlei Voraussetzung, so ist auf den rechten Seiten dieser Gleichungen je eine additive Konstante zuzufügen. Wir haben nun zu beweisen, daß jeder Lichtstrahl sich, im bewegten System gemessen, mit der Geschwindigkeit $V$ fortpflanzt, falls dies, wie wir angenommen haben, im ruhenden System der Fall ist; denn wir haben den Beweis dafür noch nicht geliefert, daß das Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit mit dem Relativitätsprinzip vereinbar sei. Zur Zeit $t=\tau=0$ werde von dem zu dieser Zeit gemeinsamen Koordinatenursprung beider Systeme aus eine Kugelwelle ausgesandt, welche sich im System $K$ mit der Geschwindigkeit $V$ ausbreitet. Ist ($x,y,z$) ein eben von dieser Welle ergriffener Punkt, so ist also $x^{2}+y^{2}+z^{2}=V^{2}t^{2}$. Diese Gleichung transformieren wir mit Hilfe unserer Transformationsgleichungen und erhalten nach einfacher Rechnung: $\xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{2}=V^{2}\tau^{2}$. Die betrachtete Welle ist also auch im bewegten System betrachtet eine Kugelwelle von der Ausbreitungsgeschwindigkeit $V$. Hiermit ist gezeigt, daß unsere beiden Grundprinzipien miteinander vereinbar sind. In den entwickelten Transformationsgleichungen tritt noch eine unbekannte Funktion $\varphi$ von $v$ auf, welche wir nun bestimmen wollen. Wir führen zu diesem Zwecke noch ein drittes Koordinatensystem $K'$ ein, welches relativ zum System $k$ derart in Paralleltranslationsbewegung parallel zur $\Xi$-Achse begriffen sei, daß sich dessen Koordinatenursprung mit der Geschwindigkeit $-v$ auf der $\Xi$-Achse bewege. Zur Zeit $t=0$ mögen alle drei Koordinatenanfangspunkte zusammenfallen und es sei für $t=x=y=z=0$ die Zeit $t'$ des Systems $K'$ gleich Null. Wir nennen $x',y',z'$ die Koordinaten, im System $K'$ gemessen, und erhalten durch zweimalige Anwendung unserer Transformationsgleichungen: $\begin{alignat}{3}t' & =\varphi(-v)\beta(-v)\left\{ \tau+\frac{v}{V^{2}}\xi\right\} & & =\varphi(v)\varphi(-v)t,\\x' & =\varphi(-v)\beta(-v)\left\{ \xi+v\tau\right\} & & =\varphi(v)\varphi(-v)x,\\y' & =\varphi(-v)\eta & & =\varphi(v)\varphi(-v)y,\\z' & =\varphi(-v)\zeta & & =\varphi(v)\varphi(-v)z.\end{alignat}$ Da die Beziehungen zwischen $x',y',z'$und $x,y,z$ die Zeit $t$ nicht enthalten, so ruhen die Systeme $K$ und $K'$ gegeneinander, und es ist klar, daß die Transformation von $K$ auf $K'$ die identische Transformation sein muß. Es ist also: $\varphi(v)\varphi(-v)=1$. Wir fragen nun nach der Bedeutung von $\varphi(v)$. Wir fassen das Stück der $H$-Achse des Systems $k$ ins Auge, das zwischen $\xi=0,\eta=0,\zeta=0$ und $\xi=0,\eta=l,\zeta=0$ gelegen ist. Dieses Stück der $H$-Achse ist ein relativ zum System $K$ mit der Geschwindigkeit $v$ senkrecht zu seiner Achse bewegter Stab, dessen Enden in $K$ die Koordinaten besitzen: $x_{1}=vt,\ y_{1}=\frac{l}{\varphi(v)},\ z_{1}=0$ und $x_{2}=vt,\ y_{2}=0,\ z_{2}=0.$ Die Länge des Stabes, in $K$ gemessen, ist also $l/\varphi(v)$; damit ist die Bedeutung der Funktion $\varphi$ gegeben. Aus Symmetriegründen ist nun einleuchtend, daß die im ruhenden System gemessene Länge eines bestimmten Stabes, welcher senkrecht zu seiner Achse bewegt ist, nur von der Geschwindigkeit, nicht aber von der Richtung und dem Sinne der Bewegung abhängig sein kann. Es ändert sich also die im ruhenden System gemessene Länge des bewegten Stabes nicht, wenn $v$ mit $-v$ vertauscht wird. Hieraus folgt: $\frac{l}{\varphi(v)}=\frac{l}{\varphi(-v)},$ oder $\varphi(v)=\varphi(-v)$. Aus dieser und der vorhin gefundenen Relation folgt, daß $\varphi(v)=1$ sein muß, so daß die gefundenen Transformationsgleichungen übergehen in: $\begin{align}\tau & =\beta(t-\frac{v}{V^{2}}x),\\ \xi & =\beta(x-vt),\\ \eta & =y,\\ \zeta & =z, \end{align}$ wobei $\beta=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}}.$

Ссылаются нормы: FeedEventCoordinates, FeedLorentzFactor, FeedRelativeSpeed, ReadTransformedTime, ReadTransformedTimeUnit, motion_of_run, presented_gamma

de · official · sha256:0748d0438d7e79f7a80e4745d60bdd283593f684e637f3f7cb8d8df39cca35b8DE

§ 4. Physikalische Bedeutung der erhaltenen Gleichungen, bewegte starre Körper und bewegte Uhren betreffend. Wir betrachten eine starre Kugel [Anm: Das heißt einen Körper, welcher ruhend untersucht Kugelgestalt besitzt.] vom Radius $R$, welche relativ zum bewegten System $k$ ruht, und deren Mittelpunkt im Koordinatenursprung von $k$ liegt. Die Gleichung der Oberfläche dieser relativ zum System $K$ mit der Geschwindigkeit $v$ bewegten Kugel ist: $\xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{2}=R^{2}$. Die Gleichung dieser Oberfläche ist in $x,y,z$ ausgedrückt zur Zeit $t=0$: $\frac{x^{2}}{\left(\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}\right)^{2}}+y^{2}+z^{2}=R^{2}.$ Ein starrer Körper, welcher in ruhendem Zustande ausgemessen die Gestalt einer Kugel hat, hat also in bewegtem Zustande — vom ruhenden System aus betrachtet — die Gestalt eines Rotationsellipsoides mit den Achsen $R\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}},\ R,\ R.$ Während also die $Y$- und $Z$-Dimension der Kugel (also auch jedes starren Körpers von beliebiger Gestalt) durch die Bewegung nicht modifiziert erscheinen, erscheint die $X$-Dimension im Verhältnis $1:\sqrt{1-(v/V)^{2}}$ verkürzt, also um so stärker, je größer $v$ ist. Für $v=V$ schrumpfen alle bewegten Objekte — vom „ruhenden“ System aus betrachtet — in flächenhafte Gebilde zusammen. Für Überlichtgeschwindigkeiten werden unsere Überlegungen sinnlos; wir werden übrigens in den folgenden Betrachtungen finden, daß die Lichtgeschwindigkeit in unserer Theorie physikalisch die Rolle der unendlich großen Geschwindigkeiten spielt. Es ist klar, daß die gleichen Resultate von im „ruhenden“ System ruhenden Körpern gelten, welche von einem gleichförmig bewegten System aus betrachtet werden. — Wir denken uns ferner eine der Uhren, welche relativ zum ruhenden System ruhend die Zeit $t$, relativ zum bewegten System ruhend die Zeit $\tau$ anzugeben befähigt sind, im Koordinatenursprung von $k$ gelegen und so gerichtet, daß sie die Zeit $\tau$ angibt. Wie schnell geht diese Uhr, vom ruhenden System aus betrachtet? Zwischen die Größen $x$, $t$ und $\tau$, welche sich auf den Ort dieser Uhr beziehen, gelten offenbar die Gleichungen: $\tau=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}}(t-\frac{v}{V^{2}}x)$ und $x=vt$. Es ist also $\tau=t\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}=t-\left(1-\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}\right)t,$ woraus folgt, daß die Angabe der Uhr (im ruhenden System betrachtet) pro Sekunde um $\left(1-\sqrt{1-(v/V)^{2}}\right)$ Sek. oder — bis auf Größen vierter und höherer Ordnung um $\frac{1}{2}(v/V)^{2}$ Sek. zurückbleibt. Hieraus ergibt sich folgende eigentümliche Konsequenz. Sind in den Punkten $A$ und $B$ von $K$ ruhende, im ruhenden System betrachtet, synchron gehende Uhren vorhanden, und bewegt man die Uhr in $A$ mit der Geschwindigkeit $v$ auf der Verbindungslinie nach $B$, so gehen nach Ankunft dieser Uhr in $B$ die beiden Uhren nicht mehr synchron, sondern die von $A$ nach $B$ bewegte Uhr geht gegenüber der von Anfang an in $B$ befindlichen um $\frac{1}{2}tv^{2}/V^{2}$ Sek. (bis auf Größen vierter und höherer Ordnung) nach, wenn $t$ die Zeit ist, welche die Uhr von $A$ nach $B$ braucht. Man sieht sofort, daß dies Resultat auch dann noch gilt, wenn die Uhr in einer beliebigen polygonalen Linie sich von $A$ nach $B$ bewegt, und zwar auch dann, wenn die Punkte $A$ und $B$ zusammenfallen. Nimmt man an, daß das für eine polygonale Linie bewiesene Resultat auch für eine stetig gekrümmte Kurve gelte, so erhält man den Satz: Befinden sich in $A$ zwei synchron gehende Uhren und bewegt man die eine derselben auf einer geschlossenen Kurve mit konstanter Geschwindigkeit, bis sie wieder nach $A$ zurückkommt, was $t$ Sek. dauern möge, so geht die letztere Uhr bei ihrer Ankunft in $A$ gegenüber der unbewegt gebliebenen um $\frac{1}{2}t(v/V)^{2}$ Sek. nach. Man schließt daraus, daß eine am Erdäquator befindliche Unruhuhr um einen sehr kleinen Betrag langsamer laufen muß als eine genau gleich beschaffene, sonst gleichen Bedingungen unterworfene, an einem Erdpole befindliche Uhr.

Ссылаются нормы: FeedProperLength, FeedProperTime, ReadContractedLength, ReadContractedLengthUnit, ReadDilatedTime, ReadDilatedTimeUnit, contraction-is-derived, stance-absolute-time, stance-contraction

de · official · sha256:c78541a862c858a7e546b54b4f1b1dde1cd701545a1c0fa24b7d977e268bb88bDE

§ 5. Additionstheorem der Geschwindigkeiten. In dem längs der $X$-Achse des Systems $K$ mit der Geschwindigkeit $v$ bewegten System $k$ bewege sich ein Punkt gemäß den Gleichungen: $\begin{align}\xi= & w_{\xi}\tau,\\ \eta= & w_{\eta}\tau,\\ \zeta= & 0, \end{align}$ wobei $w_{\xi}$ und $w_{\eta}$ Konstanten bedeuten. Gesucht ist die Bewegung des Punktes relativ zum System $K$. Führt man in die Bewegungsgleichungen des Punktes mit Hilfe der in § 3 entwickelten Transformationsgleichungen die Größen $x,y,z,t$ ein, so erhält man: $\begin{align}x & =\frac{w_{\xi}+v}{1+\frac{vw_{\xi}}{V^{2}}}t,\\ y & =\frac{\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}}{1+\frac{vw_{\xi}}{V^{2}}}w_{\eta}t,\\ z & =0. \end{align}$ Das Gesetz vom Parallelogramm der Geschwindigkeiten gilt also nach unserer Theorie nur in erster Annäherung. Wir setzen: $\begin{align}U^{2} & =\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2},\\ w^{2} & =w_{\xi}^{2}+w_{\eta}^{2} \end{align}$ und $\alpha={\rm arctg}\frac{w_{\eta}}{w_{\xi}};$ $\alpha$ ist dann als der Winkel zwischen den Geschwindigkeiten $v$ und $w$ anzusehen. Nach einfacher Rechnung ergibt sich: $U=\frac{\sqrt{(v^{2}+w^{2}+2v\ w\ \cos\alpha)-\left(\frac{v\ w\ \sin\alpha}{V}\right){}^{2}}}{1+\frac{v\ w\ \sin\alpha}{V^{2}}}.$ Es ist bemerkenswert, daß $v$ und $w$ in symmetrischer Weise in den Ausdruck für die resultierende Geschwindigkeit eingehen. Hat auch $w$ die Richtung der $X$-Achse ($\Xi$-Achse), so erhalten wir: $U=\frac{v+w}{1+\frac{vw}{V^{2}}}.$ Aus dieser Gleichung folgt, daß aus der Zusammensetzung zweier Geschwindigkeiten, welche kleiner sind als $V$, stets eine Geschwindigkeit kleiner als $V$ resultiert. Setzt man nämlich $v=V-\varkappa$, $w=V-\lambda$, wobei $\varkappa$ und $\lambda$ positiv und kleiner als $V$ seien, so ist: $U=V\frac{2V-\varkappa-\lambda}{2V-\varkappa-\lambda+\frac{\varkappa\lambda}{V}}<V.$ Es folgt ferner, daß die Lichtgeschwindigkeit $V$ durch Zusammensetzung mit einer „Unterlichtgeschwindigkeit“ nicht geändert werden kann. Man erhält für diesen Fall: $U=\frac{V+w}{1+\frac{w}{v}}=V.$ Wir hätten die Formel für $U$ für den Fall, daß $v$ und w gleiche Richtung besitzen, auch durch Zusammensetzen zweier Transformationen gemäß § 3 erhalten können. Führen wir neben den in § 3 figurierenden Systemen $K$ und $k$ noch ein drittes, zu $k$ in Parallelbewegung begriffenes Koordinatensystem $k'$ ein, dessen Anfangspunkt sich auf der $\Xi$-Achse mit der Geschwindigkeit $w$ bewegt, so erhalten wir zwischen den Größen $x,y,z,t$ und den entsprechenden Größen von $k'$ Gleichungen, welche sich von den in § 3 gefundenen nur dadurch unterscheiden, daß an Stelle von „$v$“ die Größe $\frac{v+w}{1+\frac{vw}{V^{2}}}$ tritt; man sieht daraus, daß solche Paralleltransformationen — wie dies sein muß — eine Gruppe bilden. Wir haben nun die für uns notwendigen Sätze der unseren zwei Prinzipien entsprechenden Kinematik hergeleitet und gehen dazu über, deren Anwendung in der Elektrodynamik zu zeigen. II. Elektrodynamischer Teil.

Ссылаются нормы: FeedLightSignalToCompose, FeedSpeedsToCompose, ReadComposedSpeedRatio, stance-galilean

de · official · sha256:d9e94a7576b79c227f80cfcf86eef782136f1f84a2520cc836e08cc3a0df281dDE

§ 6. Transformation der Maxwell-Hertzschen Gleichungen für den leeren Raum. Über die Natur der bei Bewegung in einem Magnetfeld auftretenden elektromotorischen Kräfte. Die Maxwell-Hertzschen Gleichungen für den leeren Raum mögen gültig sein für das ruhende System $K$, so daß gelten möge: $\begin{align}\frac{1}{V}\frac{\partial X}{\partial t} & =\frac{\partial N}{\partial y}-\frac{\partial M}{\partial z}, & \ \frac{1}{V}\frac{\partial L}{\partial t} & =\frac{\partial Y}{\partial z}-\frac{\partial Z}{\partial y},\\ \frac{1}{V}\frac{\partial Y}{\partial t} & =\frac{\partial L}{\partial z}-\frac{\partial N}{\partial x}, & \ \frac{1}{V}\frac{\partial M}{\partial t} & =\frac{\partial Z}{\partial x}-\frac{\partial X}{\partial z},\\ \frac{1}{V}\frac{\partial Z}{\partial t} & =\frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial L}{\partial y}, & \ \frac{1}{V}\frac{\partial N}{\partial t} & =\frac{\partial X}{\partial y}-\frac{\partial Y}{\partial x}, \end{align}$ wobei ($X,Y,Z$) den Vektor der elektrischen, ($L,M,N$) den der magnetischen Kraft bedeutet. Wenden wir auf diese Gleichungen die in § 3 entwickelte Transformation an, indem wir die elektromagnetischen Vorgänge auf das dort eingeführte, mit der Geschwindigkeit $v$ bewegte Koordinatensystem beziehen, so erhalten wir die Gleichungen: $\begin{alignat}{3} & \frac{1}{V}\frac{\partial X}{\partial\tau} & & =\frac{\partial\beta\left(N-\frac{v}{V}Y\right)}{\partial\eta} & - & \frac{\partial\beta\left(M+\frac{v}{V}Z\right)}{\partial\zeta},\\ & \frac{1}{V}\frac{\partial\beta\left(Y-\frac{v}{V}N\right)}{\partial\tau} & & =\frac{\partial L}{\partial\zeta} & - & \frac{\partial\beta\left(N-\frac{v}{V}Y\right)}{\partial\xi},\\ & \frac{1}{V}\frac{\partial\beta\left(Z+\frac{v}{V}M\right)}{\partial\tau} & & =\frac{\partial\beta\left(M+\frac{v}{V}Z\right)}{\partial\xi} & - & \frac{\partial L}{\partial\eta},\\ & \frac{1}{V}\frac{\partial L}{\partial\tau} & & =\frac{\partial\beta\left(Y-\frac{v}{V}N\right)}{\partial\zeta} & - & \frac{\partial\beta\left(Z+\frac{v}{V}M\right)}{\partial\eta}, \end{alignat}$ $\begin{alignat}{3} & \frac{1}{V}\frac{\partial\beta\left(M+\frac{v}{V}Z\right)}{\partial\tau} & & =\frac{\partial\beta\left(Z+\frac{v}{V}M\right)}{\partial\xi} & & -\frac{\partial X}{\partial\zeta},\\ & \frac{1}{V}\frac{\partial\beta\left(N-\frac{v}{V}Y\right)}{\partial\tau} & & =\frac{\partial X}{\partial\eta} & & -\frac{\partial\beta\left(Y-\frac{v}{V}N\right)}{\partial\xi}, \end{alignat}$ wobei $\beta=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}}.$ Das Relativitätsprinzip fordert nun, daß die Maxwell-Hertzschen Gleichungen für den leeren Raum auch im System $k$ gelten, wenn sie im System $K$ gelten, d. h. daß für die im bewegten System $k$ durch ihre ponderomotorischen Wirkungen auf elektrische bez. magnetische Massen definierten Vektoren der elektrischen und magnetischen Kraft ($(X',Y',Z')$ und $(L',M',N')$) des bewegten Systems $k$ die Gleichungen gelten: $\begin{align}\frac{1}{V}\frac{\partial X'}{\partial\tau} & =\frac{\partial N'}{\partial\eta}-\frac{\partial M'}{\partial\zeta}, & \frac{1}{V}\frac{\partial L'}{\partial\tau} & =\frac{\partial Y'}{\partial\zeta}-\frac{\partial Z'}{\partial\eta},\\ \frac{1}{V}\frac{\partial Y'}{\partial\tau} & =\frac{\partial L'}{\partial\zeta}-\frac{\partial N'}{\partial\xi}, & \frac{1}{V}\frac{\partial M'}{\partial\tau} & =\frac{\partial Z'}{\partial\xi}-\frac{\partial X'}{\partial\zeta},\\ \frac{1}{V}\frac{\partial Z'}{\partial\tau} & =\frac{\partial M'}{\partial\xi}-\frac{\partial L'}{\partial\eta}, & \frac{1}{V}\frac{\partial N'}{\partial\tau} & =\frac{\partial X'}{\partial\eta}-\frac{\partial Y'}{\partial\xi}. \end{align}$ Offenbar müssen nun die beiden für das System $k$ gefundenen Gleichungssysteme genau dasselbe ausdrücken, da beide Gleichungssysteme den Maxwell-Hertzschen Gleichungen für das System $K$ äquivalent sind. Da die Gleichungen beider Systeme ferner bis auf die die Vektoren darstellenden Symbole übereinstimmen, so folgt, daß die in den Gleichungssystemen an entsprechenden Stellen auftretenden Funktionen bis auf einen für alle Funktionen des einen Gleichungssystems gemeinsamen, von $\xi,\eta,\zeta$ und $\tau$ unabhängigen, eventuell von $v$ abhängigen Faktor $\psi(v)$ übereinstimmen müssen. Es gelten also die Beziehungen: $\begin{align}X' & =\psi(v)X, & L' & =\psi(v)L,\\ Y' & =\psi(v)\beta\left(Y-\frac{v}{V}N\right), & M' & =\psi(v)\beta\left(M+\frac{v}{V}z\right),\\ Z' & =\psi(v)\beta\left(Z+\frac{v}{V}M\right), & N' & =\psi(v)\beta\left(N-\frac{v}{V}Y\right). \end{align}$ Bildet man nun die Umkehrung dieses Gleichungssystems, erstens durch Auflösen der soeben erhaltenen Gleichungen, zweitens durch Anwendung der Gleichungen auf die inverse Transformation (von $k$ auf $K$), welche durch die Geschwindigkeit $-v$ charakterisiert ist, so folgt, indem man berücksichtigt, daß die beiden so erhaltenen Gleichungssysteme identisch sein müssen: $\varphi(v).\varphi(-v)=1$. Ferner folgt aus Symmetriegründen [Anm: Ist z. B. $X=Y=Z=L=M=0$ und $N\neq0$, so ist aus Symmetriegründen klar, daß bei Zeichenwechsel von $v$ ohne Änderung des numerischen Wertes auch $Y'$ sein Vorzeichen ändern muß, ohne seinen numerischen Wert zu ändern.] $\varphi(v)=\varphi(-v)$; es ist also $\varphi(v)=1$, und unsere Gleichungen nehmen die Form an: $\begin{align}X' & =X, & L' & =L,\\ Y' & =\beta\left(Y-\frac{v}{V}N\right), & M' & =\beta\left(M+\frac{v}{V}Z\right),\\ Z' & =\beta\left(Z+\frac{v}{V}M\right), & N' & =\beta\left(N-\frac{v}{V}Y\right). \end{align}$ Zur Interpretation dieser Gleichungen bemerken wir folgendes. Es liegt eine punktförmige Elektrizitätsmenge vor, welche im ruhenden System $K$ gemessen von der Größe „eins“ sei, d. h. im ruhenden System ruhend auf eine gleiche Elektrizitätsmenge im Abstand 1 cm die Kraft 1 Dyn ausübe. Nach dem Relativitätsprinzip ist diese elektrische Masse auch im bewegten System gemessen von der Größe „eins“. Ruht diese Elektrizitätsmenge relativ zum ruhenden System, so ist definitionsgemäß der Vektor ($X,Y,Z$) gleich der auf sie wirkenden Kraft. Ruht die Elektrizitätsmenge gegenüber dem bewegten System (wenigstens in dem betreffenden Augenblick), so ist die auf sie wirkende, in dem bewegten System gemessene Kraft gleich dem Vektor ($X',Y',Z'$). Die ersten drei der obigen Gleichungen lassen sich mithin auf folgende zwei Weisen in Worte kleiden: 1. Ist ein punktförmiger elektrischer Einheitspol in einem elektromagnetischen Felde bewegt, so wirkt auf ihn außer der elektrischen Kraft eine „elektromotorische Kraft“, welche unter Vernachlässigung von mit der zweiten und höheren Potenzen von $v/V$ multiplizierten Gliedern gleich ist dem mit der Lichtgeschwindigkeit dividierten Vektorprodukt der Bewegungsgeschwindigkeit des Einheitspoles und der magnetischen Kraft. (Alte Ausdrucksweise.) 2. Ist ein punktförmiger elektrischer Einheitspol in einem elektromagnetischen Felde bewegt, so ist die auf ihn wirkende Kraft gleich der an dem Orte des Einheitspoles vorhandenen elektrischen Kraft, welche man durch Transformation des Feldes auf ein relativ zum elektrischen Einheitspol ruhendes Koordinatensystem erhält. (Neue Ausdrucksweise.) Analoges gilt über die „magnetomotorischen Kräfte“. Man sieht, daß in der entwickelten Theorie die elektromotorische Kraft nur die Rolle eines Hilfsbegriffes spielt, welcher seine Einführung dem Umstande verdankt, daß die elektrischen und magnetischen Kräfte keine von dem Bewegungszustande des Koordinatensystems unabhängige Existenz besitzen. Es ist ferner klar, daß die in der Einleitung angeführte Asymmetrie bei der Betrachtung der durch Relativbewegung eines Magneten und eines Leiters erzeugten Ströme verschwindet. Auch werden die Fragen nach dem „Sitz“ der elektrodynamischen elektromotorischen Kräfte (Unipolarmaschinen) gegenstandslos.

de · official · sha256:b2cf31a089a3bd1ec9fd0724d41f5319a62b8c0e000c00f29601f029bc4dcf64DE

§ 7. Theorie des Doppelerschen Prinzips und der Aberration. Im Systeme $K$ befinde sich sehr ferne vom Koordinatenursprung eine Quelle elektrodynamischer Wellen, welche in einem den Koordinatenursprung enthaltenden Raumteil mit genügender Annäherung durch die Gleichungen dargestellt sei: $\begin{align}X & =X_{0}\sin\Phi, & L & =L_{0}\sin\Phi,\\ Y & =Y_{0}\sin\Phi, & M & =M_{0}\sin\Phi,\quad\Phi=\omega\left(t-\frac{ax+by+cz}{V}\right).\\ Z & =Z_{0}\sin\Phi, & N & =N_{0}\sin\Phi, \end{align}$ Hierbei sind ($X_{0},Y_{0},Z_{0}$) und ($L_{0},M_{0},N_{0}$) die Vektoren, welche die Amplitude des Wellenzuges bestimmen, $a,b,c$ die Richtungskosinus der Wellennormalen. Wir fragen nach der Beschaffenheit dieser Wellen, wenn dieselben von einem in dem bewegten System $k$ ruhenden Beobachter untersucht werden. — Durch Anwendung der in § 6 gefundenen Transformationsgleichungen für die elektrischen und magnetischen Kräfte und der in § 3 gefundenen Transformationsgleichungen für die Koordinaten und die Zeit erhalten wir unmittelbar: $\begin{align}X' & =X_{0}\sin\Phi', & L' & =L_{0}\sin\Phi',\\ Y' & =\beta(Y_{0}-\frac{v}{V}N_{0})\sin\Phi', & M' & =\beta(M_{0}+\frac{v}{V}Z_{0})\sin\Phi',\\ Z' & =\beta(Z_{0}+\frac{v}{V}M_{0})\sin\Phi', & N' & =\beta(N_{0}-\frac{v}{V}Y_{0})\sin\Phi', \end{align}$ $\Phi'=\omega'\left(\tau-\frac{a'\xi+b'\eta+c'\zeta}{V}\right)$, wobei $\begin{align}\omega' & =\omega\beta\left(1-a\frac{v}{V}\right),\\ a' & =\frac{a-\frac{v}{V}}{1-a\frac{v}{V}},\\ b' & =\frac{b}{\beta\left(1-a\frac{v}{V}\right)},\\ c' & =\frac{c}{\beta\left(1-a\frac{v}{V}\right)} \end{align}$ gesetzt ist. Aus der Gleichung für $\omega'$ folgt: Ist ein Beobachter relativ zu einer unendlich fernen Lichtquelle von der Frequenz $\nu$ mit der Geschwindigkeit $v$ derart bewegt, daß die Verbindungslinie „Lichtquelle-Beobachter“ mit der auf ein relativ zur Lichtquelle ruhendes Koordinatensystem bezogenen Geschwindigkeit des Beobachters den Winkel $\varphi$ bildet, so ist die von dem Beobachter wahrgenommene Frequenz $\nu'$ des Lichtes durch die Gleichung gegeben: $\nu'=\nu\frac{1-\cos\varphi\frac{v}{V}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}}.$ Dies ist das Doppelersche Prinzip für beliebige Geschwindigkeiten. Für $\varphi=0$ nimmt die Gleichung die übersichtliche Form an: $\nu'=\nu\sqrt{\frac{1-\frac{v}{V}}{1+\frac{v}{V}}}.$ Man sieht, daß — im Gegensatz zu der üblichen Auffassung — für $v=-\infty$, $\nu=\infty$ ist. Nennt man $\varphi'$ den Winkel zwischen Wellennormale (Strahlrichtung) im bewegten System und der Verbindungslinie „Lichtquelle-Beobachter“, so nimmt die Gleichung für $a'$ die Form an: $\cos\varphi'=\frac{\cos\varphi-\frac{v}{V}}{1-\frac{v}{V}\cos\varphi}.$ Diese Gleichung drückt das Aberrationsgesetz in seiner allgemeinsten Form aus. Ist $\varphi=\pi/2$, so nimmt die Gleichung die einfache Gestalt an: $\cos\varphi'=-\frac{v}{V}.$ Wir haben nun noch die Amplitude der Wellen, wie dieselbe im bewegten System erscheint, zu suchen. Nennt man $A$ bez. $A'$ die Amplitude der elektrischen oder magnetischen Kraft im ruhenden bez. im bewegten System gemessen, so erhält man: $A'{}^{2}=A^{2}\frac{\left(1-\frac{v}{V}\cos\varphi\right)^{2}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}}$ welche Gleichung für $\varphi=0$ in die einfachere übergeht: $A'{}^{2}=A^{2}\frac{1-\frac{v}{V}}{1+\frac{v}{V}}.$ Es folgt aus den entwickelten Gleichungen, daß für einen Beobachter, der sich mit der Geschwindigkeit $V$ einer Lichtquelle näherte, diese Lichtquelle unendlich intensiv erscheinen müßte.

de · official · sha256:c967e2662dbe5bede3de2181618c7b2430ca315cb50b6216adf1027b6162e7c6DE

§ 8. Transformation der Energie der Lichtstrahlen. Theorie des auf vollkommene Spiegel ausgeübten Strahlungsdruckes. Da $A^{2}/8\pi$ gleich der Lichtenergie pro Volumeneinheit ist, so haben wir nach dem Relativitätsprinzip $A'{}^{2}/8\pi$ als die Lichtenergie im bewegten System zu betrachten. Es wäre daher $A'{}^{2}/A^{2}$ das Verhältnis der „bewegt gemessenen“ und „ruhend gemessenen“ Energie eines bestimmten Lichtkomplexes, wenn das Volumen eines Lichtkomplexes in $K$ gemessen und in $k$ gemessen das gleiche wäre. Dies ist jedoch nicht der Fall. Sind $a,b,c$ die Richtungskosinus der Wellennormalen des Lichtes im ruhenden System, so wandert durch die Oberflächenelemente der mit Lichtgeschwindigkeit bewegten Kugelfläche $(x-Vat)^{2}+(y-Vbt)^{2}+(z-Vct)^{2}=R^{2}$ keine Energie hindurch; wir können daher sagen, daß diese Fläche dauernd denselben Lichtkomplex umschließt. Wir fragen nach der Energiemenge, welche diese Fläche im System $k$ betrachtet umschließt, d. h. nach der Energie des Lichtkomplexes relativ zum System $k$. Die Kugelfläche ist — im bewegten System betrachtet — eine Ellipsoidfläche, welche zur Zeit $\tau=0$ die Gleichung besitzt: $\left(\beta\xi-a\beta\frac{v}{V}\xi\right)^{2}+\left(\eta-b\beta\frac{v}{V}\xi\right)^{2}+\left(\zeta-c\beta\frac{v}{V}\xi\right)^{2}=R^{2}.$ Nennt man $S$ das Volumen der Kugel, $S'$ dasjenige dieses Ellipsoides, so ist, wie eine einfache Rechnung zeigt: $\frac{S'}{S}=\frac{\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}}{1-\frac{v}{V}\cos\varphi}.$ Nennt man also $E$ die im ruhenden System gemessene, $E'$ die im bewegten System gemessene Lichtenergie, welche von der betrachteten Fläche umschlossen wird, so erhält man: $\frac{E'}{E}=\frac{\frac{A'{}^{2}}{8\pi}S'}{\frac{A^{2}}{8\pi}S}=\frac{1-\frac{v}{V}\cos\varphi}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}},$ welche Formel für $\varphi=0$ in die einfachere übergeht: $\frac{E'}{E}=\sqrt{\frac{1-\frac{v}{V}}{1+\frac{v}{V}}}.$ Es ist bemerkenswert, daß die Energie und die Frequenz eines Lichtkomplexes sich nach demselben Gesetze mit dem Bewegungszustande des Beobachters ändern. Es sei nun die Koordinatenebene $\xi=0$ eine vollkommen spiegelnde Fläche, an welcher die im letzten Paragraph betrachteten ebenen Wellen reflektiert werden. Wir fragen nach dem auf die spiegelnde Fläche ausgeübten Lichtdruck und nach der Richtung, Frequenz und Intensität des Lichtes nach der Reflexion. Das einfallende Licht sei durch die Größen $A,\cos\varphi,\nu$ (auf das System $K$ bezogen) definiert. Von $k$ aus betrachtet sind die entsprechenden Größen: $\begin{align}A' & =A\frac{1-\frac{v}{V}\cos\varphi}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}},\\ \cos\varphi' & =\frac{\cos\varphi-v/V}{1-\frac{v}{V}\cos\varphi},\\ \nu' & =\nu\frac{1-\frac{v}{V}\cos\varphi}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}}. \end{align}$ Für das reflektierte Licht erhalten wir, wenn wir den Vorgang auf das System $k$ beziehen: $\begin{align}A'' & =A',\\ \cos\varphi'' & =-\cos\varphi',\\ \nu'' & =\nu'. \end{align}$ Endlich erhält man durch Rücktransformieren aufs ruhende System $K$ für das reflektierte Licht: $\begin{align}A''' & =A''\frac{1+\frac{v}{V}cos\varphi''}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}}=A\frac{1-2\frac{v}{V}\cos\varphi+\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}},\\ \cos\varphi''' & =\frac{\cos\varphi''+\frac{v}{V}}{1+\frac{v}{V}\cos\varphi''}=-\frac{\left(1+\left(\frac{v}{V}\right)^{2}\right)\cos\varphi-2\frac{v}{V}}{1-2\frac{v}{V}\cos\varphi+\left(\frac{v}{V}\right)^{2}},\\ \nu''' & =\nu''\frac{1+\frac{v}{V}\cos\varphi''}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}}=\nu\frac{1-2\frac{v}{V}\cos\varphi+\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}{\left(1-\frac{v}{V}\right)^{2}}. \end{align}$ Die auf die Flächeneinheit des Spiegels pro Zeiteinheit auftreffende (im ruhenden System gemessene) Energie ist offenbar $A^{2}/8\pi(V\cos\varphi-v)$. Die von der Flächeneinheit des Spiegels in der Zeiteinheit sich entfernende Energie ist $A'''{}^{2}/8\pi(-V\cos\varphi'''+v)$. Die Differenz dieser beiden Ausdrücke ist nach dem Energieprinzip die vom Lichtdrucke in der Zeiteinheit geleistete Arbeit. Setzt man die letztere gleich dem Produkt $P.v$, wobei $P$ der Lichtdruck ist, so erhält man: $P=2\frac{A^{2}}{8\pi}\frac{\left(\cos\varphi-\frac{v}{V}\right)^{2}}{1-\left(\frac{v}{V}\right)^{2}}.$ In erster Annäherung erhält man in Übereinstimmung mit der Erfahrung und mit anderen Theorien $P=2\frac{A^{2}}{8\pi}\cos^{2}\varphi.$ Nach der hier benutzten Methode können alle Probleme der Optik bewegter Körper gelöst werden. Das Wesentliche ist, daß die elektrische und magnetische Kraft des Lichtes, welches durch einen bewegten Körper beeinflußt wird, auf ein relativ zu dem Körper ruhendes Koordinatensystem transformiert werden. Dadurch wird jedes Problem der Optik bewegter Körper auf eine Reihe von Problemen der Optik ruhender Körper zurückgeführt.

de · official · sha256:8a3f19c3a2614edfb3d3526a868ff81d567e94550fd80ad4b30b3eba39863cc7DE

§ 9. Transformation der Maxwell-Hertzschen Gleichungen mit Berücksichtigung der Konvektionsströme. Wir gehen aus von den Gleichungen: $\begin{align}\frac{1}{V}\left\{ u_{x}\varrho+\frac{\partial X}{\partial t}\right\} & =\frac{\partial N}{\partial y}-\frac{\partial M}{\partial z}, & \frac{1}{V}\frac{\partial L}{\partial t} & =\frac{\partial Y}{\partial z}-\frac{\partial Z}{\partial y},\\ \frac{1}{V}\left\{ u_{y}\varrho+\frac{\partial Y}{\partial t}\right\} & =\frac{\partial L}{\partial z}-\frac{\partial N}{\partial x}, & \frac{1}{V}\frac{\partial M}{\partial t} & =\frac{\partial Z}{\partial x}-\frac{\partial X}{\partial z},\\ \frac{1}{V}\left\{ u_{z}\varrho+\frac{\partial Z}{\partial t}\right\} & =\frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial L}{\partial y}, & \frac{1}{V}\frac{\partial N}{\partial t} & =\frac{\partial X}{\partial y}-\frac{\partial Y}{\partial x}, \end{align}$ wobei $\varrho=\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z}$ die $4\pi$-fache Dichte der Elektrizität und ($u_{x},u_{y},u_{z}$) den Geschwindigkeitsvektor der Elektrizität bedeutet. Denkt man sich die elektrischen Massen unveränderlich an kleine, starre Körper (Ionen, Elektronen) gebunden, so sind diese Gleichungen die elektromagnetische Grundlage der Lorentzschen Elektrodynamik und Optik bewegter Körper. Transformiert man diese Gleichungen, welche im System $K$ gelten mögen, mit Hilfe der Transformationsgleichungen von § 3 und § 6 auf das System $k$, so erhält man die Gleichungen: $\begin{align}\frac{1}{V}\left\{ u_{\xi}\varrho'+\frac{\partial X'}{\partial\tau}\right\} & =\frac{\partial N'}{\partial\eta}-\frac{\partial M'}{\partial\zeta}, & \frac{\partial L'}{\partial\tau} & =\frac{\partial Y'}{\partial\zeta}-\frac{\partial Z'}{\partial\eta},\\ \frac{1}{V}\left\{ u_{\eta}\varrho'+\frac{\partial Y'}{\partial\tau}\right\} & =\frac{\partial L'}{\partial\zeta}-\frac{\partial N'}{\partial\xi}, & \frac{\partial M'}{\partial\tau} & =\frac{\partial Z'}{\partial\xi}-\frac{\partial X'}{\partial\zeta},\\ \frac{1}{V}\left\{ u_{\zeta}\varrho'+\frac{\partial Z'}{\partial\tau}\right\} & =\frac{\partial M'}{\partial\xi}-\frac{\partial L'}{\partial\eta}, & \frac{\partial N'}{\partial\tau} & =\frac{\partial X'}{\partial\eta}-\frac{\partial Y'}{\partial\xi}, \end{align}$ wobei $\begin{align}\frac{u_{x}-v}{1-\frac{u_{x}v}{V^{2}}} & =u_{\xi},\\ \frac{u_{y}}{\beta\left(1-\frac{u_{x}v}{V^{2}}\right)} & =u_{\eta}, & \varrho'=\frac{\partial X'}{\partial\xi}+\frac{\partial Y'}{\partial\eta}+\frac{\partial Z'}{\partial\zeta}=\beta\left(1-\frac{v\ u_{x}}{V^2}\right)\varrho.\\ \frac{u_{z}}{\beta\left(1-\frac{u_{x}v}{V^{2}}\right)} & =u_{\zeta}. \end{align}$ Da — wie aus dem Additionstheorem der Geschwindigkeiten (§ 5) folgt — der Vektor ($u_{\xi},u_{\eta},u_{\zeta}$) nichts anderes ist als die Geschwindigkeit der elektrischen Massen im System $k$ gemessen, so ist damit gezeigt, daß unter Zugrundelegung unserer kinematischen Prinzipien die elektrodynamische Grundlage der Lorentzschen Theorie der Elektrodynamik bewegter Körper dem Relativitätsprinzip entspricht. Es möge noch kurz bemerkt werden, daß aus den entwickelten Gleichungen leicht der folgende wichtige Satz gefolgert werden kann: Bewegt sich ein elektrisch geladener Körper beliebig im Raume und ändert sich hierbei seine Ladung nicht, von einem mit dem Körper bewegten Koordinatensystem aus betrachtet, so bleibt seine Ladung auch — von dem „ruhenden“ System $K$ aus betrachtet — konstant.

en · unofficial · sha256:e3058b9932f0980f3fe6d0fffbf85e524c385da8a80b7b2df3c14ef958039b0fEN

§ 1. Definition of Synchronism. Let us have a co-ordinate system, in which the Newtonian equations hold. For distinguishing this system from another which will be introduced hereafter, we shall always call it "the stationary system." If a material point be at rest in this system, then its position in this system can be found out by a measuring rod, and can be expressed by the methods of Euclidean Geometry, or in Cartesian co-ordinates. If we wish to describe the motion of a material point, the values of its coordinates must be expressed as functions of time. It is always to be borne in mind that such a mathematical definition has a physical sense, only when we have a clear notion of what is meant by time. We have to take into consideration the fact that those of our conceptions, in which time plays a part, are always conceptions of synchronism. For example, we say that a train arrives here at 7 o'clock ; this means that the exact pointing of the little hand of my watch to 7, and the arrival of the train are synchronous events. It may appear that all difficulties connected with the definition of time can be removed when in place of time, we substitute the position of the little hand of my watch. Such a definition is in fact sufficient, when it is required to define time exclusively for the place at which the clock is stationed. But the definition is not sufficient when it is required to connect by time events taking place at different stations, —or what amounts to the same thing,— to estimate by means of time (zeitlich werten) the occurrence of events, which take place at stations distant from the clock. Now with regard to this attempt; —the time-estimation of events, we can satisfy ourselves in the following manner. Suppose an observer —who is stationed at the origin of coordinates with the clock— associates a ray of light which comes to him through space, and gives testimony to the event of which the time is to be estimated, — with the corresponding position of the hands of the clock. But such an association has this defect, —it depends on the position of the observer provided with the clock, as we know by experience. We can attain to a more practicable result by the following treatment. If an observer be stationed at A with a clock, he can estimate the time of events occurring in the immediate neighbourhood of A, by looking for the position of the hands of the clock, which are synchronous with the event. If an observer be stationed at B with a clock, —we should add that the clock is of the same nature as the one at A,— he can estimate the time of events occurring about B. But without further premises, it is not possible to compare, as far as time is concerned, the events at B with the events at A. We have hitherto an A-time, and a B-time, but no time common to A and B. This last time (i.e., common time) can be defined, if we establish by definition that the time which light requires in travelling from A to B is equivalent to the time which light requires in travelling from B to A. For example, a ray of light proceeds from A at A-time t_A towards B, arrives and is reflected from B at B-time t_B, and returns to A at A-time t'_A. According to the definition, both clocks are synchronous, if $t_B - t_A = t'_A - t_B$. We assume that this definition of synchronism is possible without involving any inconsistency, for any number of points, therefore the following relations hold :— 1. If the clock at B be synchronous with the clock at A, then the clock at A is synchronous with the clock at B. 2. If the clock at A as well as the clock at B are both synchronous with the clock at C, then the clocks at A and B are synchronous. Thus with the help of certain physical experiences, we have established what we understand when we speak of clocks at rest at different stations, and synchronous with one another ; and thereby we have arrived at a definition of synchronism and time. In accordance with experience we shall assume that the magnitude $\frac{2\ \overline{AB}}{t'_{A}-t_{A}}=c$, where c is a universal constant. We have defined time essentially with a clock at rest in a stationary system. On account of its adaptability to the stationary system, we call the time defined in this way as "time of the stationary system."

Ссылаются нормы: ClocksNotSynchronousByDefinition, ClocksSynchronousByDefinition, Einstein1905AppliesToInertialFrames, Einstein1905SilentOnAcceleration, clocks_are_synchronous, light_round_trip, stance-ether-frame, stance-local-time, theory-declared, theory-edition, theory-key

en · unofficial · sha256:1c25ec149e46089cdee24d9282088d92b15418bbb0c0122dde5c214315e2923dEN

§ 10. Dynamics of the Electron (slowly accelerated). Let us suppose that a point-shaped particle, having the electrical charge e (to be called henceforth the electron) moves in the electromagnetic field ; we assume the following about its law of motion. If the electron be at rest at any definite epoch, then in the next "particle of time," the motion takes place according to the equations $m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=eX,\ m\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=eY,\ m\frac{d^{2}z}{dt^{2}}=eZ$ Where $(x, y, z)$ are the co-ordinates of the electron, and m is its mass. Let the electron possess the velocity v at a certain epoch of time. Let us now investigate the laws according to which the electron will move in the 'particle of time' immediately following this epoch. Without influencing the generality of treatment, we can and we will assume that, at the moment we are considering, the electron is at the origin of co-ordinates, and moves with the velocity v along the X-axis of the system. It is clear that at this moment ($t=0$) the electron is at rest relative to the system k, which moves parallel to the X-axis with the constant velocity v. From the suppositions made above, in combination with the principle of relativity, it is clear that regarded from the system k, the electron moves according to the equations $m\frac{d^{2}\xi}{dt^{2}}=eX',\ m\frac{d^{2}\eta}{dt^{2}}=eY',\ m\frac{d^{2}\zeta}{dt^{2}}=eZ'$, in the time immediately following the moment, where the symbols ($\xi, \eta, \zeta, \tau, X', Y', Z'$) refer to the system k. If we now fix, that for $t=v=y=z=0$, $\tau = \xi = \eta = \zeta=0$, then the equations of transformation given in § 3 (and 6) hold, and we have : $\left. \begin{array}{c}\tau=\beta\left(t-\frac{v}{c^{2}}x\right),\ \xi=\beta(x-vt),\ \eta=y,\ \zeta=z,\\ \\X'=X,\ Y'=\beta\left(Y-\frac{v}{c}N\right),\ Z'=\beta\left(Z+\frac{v}{c}M\right) \end{array} \right\}$ With the aid of these equations, we can transform the above equations of motion from the system k to the system K, and obtain :— $\left. \begin{array}{c} \frac{d^{2}x}{dt^{2}}=\frac{e}{m}\frac{1}{\beta^{3}}X,\ \frac{d^{2}y}{dt^{2}}=\frac{e}{m}\frac{1}{\beta}\left(Y-\frac{v}{c}N\right),\ \\ \\\frac{d^{2}z}{dt^{2}}=\frac{e}{m}\frac{1}{\beta}\left(Z+\frac{v}{c}M\right)\end{array} \right\}$ (A) Let us now consider, following the usual method of treatment, the longitudinal and transversal mass of a moving electron. We write the equations (A) in the form $\left. \begin{array}{c} m\beta^{3}\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=eX=eX'\\ \\m\beta^{2}\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=e\beta\left[Y-\frac{v}{c}N\right]=eY'\\ \\m\beta^{2}\frac{d^{2}z}{dt^{2}}=e\beta\left[Z+\frac{v}{c}M\right]=eZ'\end{array} \right\}$ and let us first remark, that $eX', eY', eZ'$ are the components of the ponderomotive force acting upon the electron, and are considered in a moving system which, at this moment, moves with a velocity which is equal to that of the electron. This force can, for example, be measured by means of a spring-balance which is at rest in this last system. If we briefly call this force as "the force acting upon the electron," and maintain the equation :— $\text{Mass-number} \times \text{acceleration-number} = \text{force-number}$, and if we further fix that the accelerations are measured in the stationary system K, then from the above equations, we obtain :— $\text{Longitudinal mass} = \frac{m}{\left(\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}\right)^{\frac{3}{2}}}$ [Note: Vide Note 21.] $\text{Transversal mass} = \frac{m}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$ Naturally, when other definitions are given of the force and the acceleration, other numbers are obtained for the mass ; hence we see that we must proceed very carefully in comparing the different theories of the motion of the electron. We remark that this result about the mass hold also for ponderable material mass ; for in our sense, a ponderable material point may be made into an electron by the addition of an electrical charge which may be as small as possible. Let us now determine the kinetic energy of the electron. If the electron moves from the origin of co-ordinates of the system K with the initial velocity 0 steadily along the X-axis under the action of an electromotive force X, then it is clear that the energy drawn from the electrostatic field has the value $\int eXdx$. Since the electron is only slowly accelerated, and in consequence, no energy is given out in the form of radiation, therefore the energy drawn from the electro-static field may be put equal to the energy W of motion. Considering the whole process of motion in questions, the first of equations A) holds, we obtain :— $W=\int\ eXdx=\overset{v}{\underset{0}{\int}\ }m\beta^{3}vdv=mc^{2}\left[\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}-1\right]$. For v=c, W is infinitely great. As our former result shows, velocities exceeding that of light can have no possibility of existence. In consequence of the arguments mentioned above, this expression for kinetic energy must also hold for ponderable masses. We can now enumerate the characteristics of the motion of the electrons available for experimental verification, which follow from equations A). 1. From the second of equations A); it follows that an electrical force Y, and a magnetic force N produce equal deflexions of an electron moving with the velocity v, when $Y=\frac{Nv}{c}$. Therefore we see that according to our theory, it is possible to obtain the velocity of an electron from the ratio of the magnetic deflexion A_m, and the electric deflexion A_e, by applying the law :— $\frac{A_{m}}{A_{e}}=\frac{v}{c}$. This relation can be tested by means of experiments because the velocity of the electron can be directly measured by means of rapidly oscillating electric and magnetic fields. 2. From the value which is deduced for the kinetic energy of the electron, it follows that when the electron falls through a potential difference of P, the velocity v which is acquired is given by the following relation :— $P=\int\ Xdx=\frac{m}{e}c^{2}\left[\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}-1\right]$. 3. We calculate the radius of curvature R of the path, where the only deflecting force is a magnetic force N acting perpendicular to the velocity of projection. From the second of equations A) we obtain : $-\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=\frac{v^{2}}{R}=\frac{e}{m}\frac{v}{c}N\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}$, or $R=\frac{mv\beta c}{eN}$ These three relations are complete expressions for the law of motion of the electron according to the above theory.

en · unofficial · sha256:ccf237136c60885770a7df43473d737ffe408d1891df254e20c95806dbc8023fEN

§ 2. On the Relativity of Length and Time. The following reflections are based on the Principle of Relativity and on the Principle of Constancy of the velocity of light, both of which we define in the following way :— 1. The laws according to which the nature of physical systems alter are independent of the manner in which these changes are referred to two co-ordinate systems which have a uniform translatory motion relative to each other. 2. Every ray of light moves in the "stationary co-ordinate system" with the same velocity c, the velocity being independent of the condition whether this ray of light is emitted by a body at rest or in motion. Therefore $\text{velocity} = \frac{\text{Path of Light}}{\text{Interval of time}},$ where, by 'interval of time,' we mean time as defined in § 1. Let us have a rigid rod at rest ; this has a length l, when measured by a measuring rod at rest ; we suppose that the axis of the rod is laid along the X-axis of the system at rest, and then a uniform velocity v, parallel to the axis of X, is imparted to it. Let us now enquire about the length of the moving rod ; this can be obtained by either of these operations.— (a) The observer provided with the measuring rod moves along with the rod to be measured, and measures by direct superposition the length of the rod : — just as if the observer, the measuring rod, and the rod to be measured were at rest. (b) The observer finds out, by means of clocks placed in a system at rest (the clocks being synchronous as defined in § 1), the points of this system where the ends of the rod to be measured occur at a particular time t. The distance between these two points, measured by the previously used measuring rod, this time it being at rest, is a length, which we may call the "length of the rod." According to the Principle of Relativity, the length found out by the operation a), which we may call "the length of the rod in the moving system" is equal to the length l of the rod in the stationary system. The length which is found out by the second method, may be called 'the length of the moving rod measured from the stationary system'. This length is to be estimated on the basis of our principle, and we shall find it to be different from l. In the generally recognised kinematics, we silently assume that the lengths defined by these two operations are equal, or in other words, that at an epoch of time t, a moving rigid body is geometrically replaceable by the same body, which can replace it in the condition of rest. Relativity of Time. Let us suppose that the two clocks synchronous with the clocks in the system at rest are brought to the ends A, and B of a rod, i.e., the time of the clocks correspond to the time of the stationary system at the points where they happen to arrive ; these clocks are therefore synchronous in the stationary system. We further imagine that there are two observers at the two watches, and moving with them, and that these observers apply the criterion for synchronism to the two clocks. At the time t_A, a ray of light goes out from A, is reflected from B at the time t_B, and arrives back at A at time t'_A. Taking into consideration the principle of constancy of the velocity of light, we have $t_{B}-t_{A}=\frac{r_{AB}}{c-v}$ , and $t'_{A}-t_{B}=\frac{r_{AB}}{c+v}$ , where $r_{AB}$ is the length of the moving rod, measured in the stationary system. Therefore the observers stationed with the watches will not find the clocks synchronous, though the observer in the stationary system must declare the clocks to be synchronous. We therefore see that we can attach no absolute significance to the concept of synchronism ; but two events which are synchronous when viewed from one system, will not be synchronous when viewed from a system moving relatively to this system.

Ссылаются нормы: NoFringeShiftUnderInvariance, SimultaneityIsPreservedAtOnePlace, SimultaneityIsRelativeForSeparatedEvents, simultaneity_is_preserved, simultaneity_is_relative, stance-absolute-simultaneity, stance-light-invariance, stance-light-medium, stance-relativity

en · unofficial · sha256:455e1b4b6207da5a5ae2ed9e005c86e5e0fcb0825fccc9037dba123e552d12ceEN

§ 3. Theory of Co-ordinate and Time-Transformation from a stationary system to a system which moves relatively to this with uniform velocity. Let there be given, in the stationary system two co-ordinate systems, i.e., two series of three mutually perpendicular lines issuing from a point. Let the X-axes of each coincide with one another, and the Y and Z-axes be parallel. Let a rigid measuring rod, and a number of clocks be given to each of the systems, and let the rods and clocks in each be exactly alike each other. Let the initial point of one of the systems (k) have a constant velocity in the direction of the X-axis of the other which is stationary system K, the motion being also communicated to the rods and clocks in the system (k). Any time t of the stationary system K corresponds to a definite position of the axes of the moving system, which are always parallel to the axes of the stationary system. By t, we always mean the time in the stationary system. We suppose that the space is measured by the stationary measuring rod placed in the stationary system, as well as by the moving measuring rod placed in the moving system, and we thus obtain the co-ordinates (x, y, z) for the stationary system, and (&xi;, &eta;, &zeta;) for the moving system. Let the time t be determined for each point of the stationary system (which are provided with clocks) by means of the clocks which are placed in the stationary system, with the help of light-signals as described in § 1. Let also the time &tau; of the moving system be determined for each point of the moving system (in which there are clocks which are at rest relative to the moving system), by means of the method of light signals between these points (in which there are clocks) in the manner described in § 1. To every value of (x, y, z, t) which fully determines the position and time of an event in the stationary system, there correspond a system of values (&xi;, &eta;, &zeta;, &tau;) ; now the problem is to find out the system of equations connecting these magnitudes. Primarily it is clear that on account of the property of homogeneity which we ascribe to time and space, the equations must be linear. If we put x'=x-vt, then it is clear that at a point relatively at rest in the system K, we have a system of values (x' y z) which are independent of time. Now let us find out &tau; as a function of (x,y,z,t). For this purpose we have to express in equations the fact that &tau; is not other than the time given by the clocks which are at rest in the system k which must be made synchronous in the manner described in § 1. Let a ray of light be sent at time $\tau_{0}$ from the origin of the system k along the X-axis towards x' and let it be reflected from that place at time $\tau_{1}$ towards the origin of moving co-ordinates and let it arrive there at time $\tau_{2}$ ; then we must have $\frac{1}{2}(\tau_{0}+\tau_{2})=\tau_{1}$ If we now introduce the condition that $\tau$ is a function of co-ordinates, and apply the principle of constancy of the velocity of light in the stationary system, we have $\frac{1}{2}\left[\tau(0,\ 0,\ 0,\ t)+\tau\left(0,\ 0,\ 0,\ \left\{ t+\frac{x'}{c-v}+\frac{x'}{c+v}\right\} \right)\right]$ $=\tau\left(x',\ 0,\ 0,\ t+\frac{x'}{c-v}\right)$. It is to be noticed that instead of the origin of coordinates, we could select some other point as the exit point for rays of light, and therefore the above equation holds for all values of (x, y, z, t). A similar conception, being applied to the y- and z-axis gives us, when we take into consideration the fact that light when viewed from the stationary system, is always propagated along those axes with the velocity $\sqrt{c^{2}-v^{2}}$, we have the questions: $\frac{\partial\tau}{\partial y}=0,\ \frac{\partial\tau}{\partial z}=0$. From these equations it follows that $\tau$ is a linear function of x' and t. From equations (1) we obtain $\tau=a\left(t-\frac{vx'}{c^{2}-v^{2}}\right)$, where $a$ is an unknown function of v. With the help of these results it is easy to obtain the magnitudes (&xi;, &eta;, &zeta;), if we express by means of equations the fact that light, when measured in the moving system is always propagated with the constant velocity c (as the principle of constancy of light velocity in conjunction with the principle of relativity requires). For a time $\tau = 0$, if the ray is sent in the direction of increasing &xi;, we have $\xi=c\tau$, i.e. $\xi=ac\left(t-\frac{vx'}{c^{2}-v^{2}}\right)$. Now the ray of light moves relative to the origin of k with a velocity c-v, measured in the stationary system ; therefore we have $\frac{x'}{c-v}=t$. Substituting these values of t in the equation for &xi;, we obtain $\xi=a\frac{c^{2}}{c^{2}-v^{2}}x'$. In an analogous manner, we obtain by considering the ray of light which moves along the y-axis, $\eta=c\tau=ac\left(t-\frac{vx'}{c^{2}-v^{2}}\right)$, where $\frac{y}{\sqrt{c^{2}-v^{2}}}=t,\ x'=0$. Therefore $\eta=a\frac{c}{\sqrt{c^{2}-v^{2}}}y,\ \zeta=a\frac{c}{\sqrt{c^{2}-v^{2}}}z$. If for x', we substitute its value x—tv, we obtain :$\tau=\phi\ (v)\cdot\beta\left(t-\frac{vx}{c^{2}}\right)$, :$\xi=\phi\ (v)\cdot\beta\left(x-vt\right)$, :$\eta=\phi\ (v)\ y$, :$\zeta=\phi\ (v)\ z$, where $\beta=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$, and $\phi(v)=\frac{\alpha c}{\sqrt{c^{2}-v^{2}}}=\frac{\alpha}{\beta}$ is a function of v. If we make no assumption about the initial position of the moving system and about the null-point of t, then an additive constant is to be added to the right hand side. We have now to show, that every ray of light moves in the moving system with a velocity c (when measured in the moving system), in case, as we have actually assumed, c is also the velocity in the stationary system ; for we have not as yet adduced any proof in support of the assumption that the principle of relativity is reconcilable with the principle of constant light-velocity. At a time $\tau = t = 0$ let a spherical wave be sent out from the common origin of the two systems of co-ordinates, and let it spread with a velocity c in the system K. If (x, y, z), be a point reached by the wave, we have $x^2 + y^2 + z^2 = c^2t^2$. with the aid of our transformation-equations, let us transform this equation, and we obtain by a simple calculation, $\xi^2 + \eta^2 + \zeta^2 = c^2\tau^2$. Therefore the wave is propagated in the moving system with the same velocity c, and as a spherical wave. Therefore we show that the two principles are mutually reconcilable. In the transformations we have got an undetermined function $\phi(v)$, and we now proceed to find it out. Let us introduce for this purpose a third co-ordinate system k', which is set in motion relative to the system k, the motion being parallel to the $\xi$-axis. Let the velocity of the origin be (—v). At the time $t = 0$, all the initial co-ordinate points coincide, and for $t=x=y=z=0$, the time t' of the system k' = 0. We shall say that (x, y z t) are the co-ordinates measured in the system k, then by a two-fold application of the transformation-equations, we obtain $t'=\phi(-v)\beta(-v)\left\{ \tau+\frac{v}{c^{2}}\xi\right\} =\phi(v)\phi(-v)t$, $x' = \phi(v)\beta(v)(\xi + v \tau) = \phi(v)\phi(-v)x$, etc. Since the relations between (x', y', z', t'), and (x, y, z, t) do not contain time explicitly, therefore K and k' are relatively at rest. It appears that the systems K and k' are identical. $\therefore\phi(v)\ \phi(-v)=1$, Let us now turn our attention to the part of the y-axis between ($\xi = 0, \eta = 0, \zeta = 0$), and ($\xi = 0, \eta = 1, \zeta = 0$). Let this piece of the y-axis be covered with a rod moving with the velocity v relative to the system K and perpendicular to its axis ;—the ends of the rod having therefore the co-ordinates $\left. \begin{array}{lll} x_{1}=vt, & y=\frac{l}{\phi(v)}, & z_{1}=0\\ x_{2}=vt, & y_{2}=\frac{l}{\phi(v)}, & z_{2}=0 \end{array} \right\}$ Therefore the length of the rod measured in the system K is $\frac{l}{\phi(v)}$. For the system moving with velocity (-v), we have on grounds of symmetry, $\frac{l}{\phi(v)}=\frac{l}{\phi(-v)}$ $\therefore\phi(v)=\phi(-v),\ \therefore\phi(v)=1$

Ссылаются нормы: FeedEventCoordinates, FeedLorentzFactor, FeedRelativeSpeed, ReadTransformedTime, ReadTransformedTimeUnit, motion_of_run, presented_gamma

en · unofficial · sha256:78baa370b9638036f9560284b216822cd5031568e4de55e856778bd30b109ba2EN

§ 4. The physical significance of the equations obtained concerning moving rigid bodies and moving clocks. Let us consider a rigid sphere (i.e., one having a spherical figure when tested in the stationary system) of radius R which is at rest relative to the system (K), and whose centre coincides with the origin of K then the equation of the surface of this sphere, which is moving with a velocity v relative to K, is $\xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{2}=R^{2}$ At time t = 0 the equation is expressed by means of (x, y, z, t,) as $\frac{x^{2}}{\left(\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}\right)^{2}}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$. A rigid body which has the figure of a sphere when measured in the moving system, has therefore in the moving condition — when considered from the stationary system, the figure of a rotational ellipsoid with semi-axes $R\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}, R, R$. Therefore the y and z dimensions of the sphere (therefore of any figure also) do not appear to be modified by the motion, but the x dimension is shortened in the ratio $1:\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}$ ; the shortening is the larger, the larger is v. For v = c, all moving bodies, when considered from a stationary system shrink into planes. For a velocity larger than the velocity of light, our propositions become meaningless ; in our theory c plays the part of infinite velocity. It is clear that similar results hold about stationary bodies in a stationary system when considered from a uniformly moving system. Let us now consider that a clock which is lying at rest in the stationary system gives the time t, and lying at rest relative to the moving system is capable of giving the time &tau; ; suppose it to be placed at the origin of the moving system k, and to be so arranged that it gives the time &tau;. How much does the clock gain, when viewed from the stationary system K? We have, $\tau=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\left(t-\frac{v}{c^{2}}x\right)$, and $x=vt$, $\therefore\tau-t=\left[1-\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}\right]t$. Therefore the clock loses by an amount $\frac{1}{2}\frac{v^{2}}{c^{2}}$ per second of motion, to the second order of approximation. From this, the following peculiar consequence follows. Suppose at two points A and B of the stationary system two clocks are given which are synchronous in the sense explained in § 3 when viewed from the stationary system. Suppose the clock at A to be set in motion in the line joining it with B, then after the arrival of the clock at B, they will no longer be found synchronous, but the clock which was set in motion from A will lag behind the clock which had been all along at B by an amount $\frac{1}{2}t\frac{v^{2}}{c^{2}}$, where t is the time required for the journey. We see forthwith that the result holds also when the clock moves from A to B by a polygonal line, and also when A and B coincide. If we assume that the result obtained for a polygonal line holds also for a curved line, we obtain the following law. If at A, there be two synchronous clocks, and if we set in motion one of them with a constant velocity along a closed curve till it comes back to A, the journey being completed in t-seconds, then after arrival, the last mentioned clock will be behind the stationary one by $\frac{1}{2}t\frac{v^{2}}{c^{2}}$ seconds. From this, we conclude that a clock placed at the equator must be slower by a very small amount than a similarly constructed clock which is placed at the pole, all other conditions being identical.

Ссылаются нормы: FeedProperLength, FeedProperTime, ReadContractedLength, ReadContractedLengthUnit, ReadDilatedTime, ReadDilatedTimeUnit, contraction-is-derived, stance-absolute-time, stance-contraction

en · unofficial · sha256:69cfa50b7d41511948cce18bfe0bc6a429b26b015d1cb8a14306a6afc5e4b2abEN

§ 5. Addition-Theorem of Velocities. Let a point move in the system k (which moves with velocity v along the x-axis of the system K) according to the equation $\xi=w_{\xi}\tau,\ \eta=w_{\eta}\tau,\ \zeta=0$, where $w_{\xi}$ and $w_{\eta}$ are constants. It is required to find out the motion of the point relative to the system K. If we now introduce the system of equations in § 3 in the equation of motion of the point, we obtain $x=\frac{w_{\xi}+v}{1+\frac{vw_{\xi}}{c^{2}}},\ y=\frac{\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}w_{\eta}t}{1+\frac{vw_{\xi}}{c^{2}}},\ z=0$. The law of parallelogram of velocities hold up to the first order of approximation. We can put $U^{2}=\left(\frac{\partial x}{\partial t}\right)^{2}+\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^{2},\ w^{2}=w_{\xi}^{2}+w_{\eta}^{2}$, and $\alpha=\tan^{-1}\frac{w}{w_{\xi}}$ i.e., $\alpha$ is put equal to the angle between the velocities v, and w. Then we have— $U=\frac{\left[(v^{2}+w^{2}+2vw\ \cos\ \alpha)-\left(\frac{vw\ \sin\ \alpha}{c}\right)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}}{1+\frac{vw\ \cos\ \alpha}{c^{2}}}$ It should be noticed that v and w enter into the expression for velocity symmetrically. If w has the direction of the &xi;-axis of the moving system, $U=\frac{v+w}{1+\frac{vw}{c^{2}}}$ From this equation, we see that by combining two velocities, each of which is smaller than c, we obtain a velocity which is always smaller than c. If we put $v = c - \chi$, and $w = c - \lambda$ where $\chi$ and $\lambda$ are each smaller than c, $U=c\frac{2c-\chi-\lambda}{2c-\chi-\lambda+\frac{\chi\lambda}{c^{2}}}<c$. It is also clear that the velocity of light c cannot be altered by adding to it a velocity smaller than c. For this case, $U=\frac{c+v}{1+\frac{cv}{c^{2}}}=c$ We have obtained the formula for U for the case when v and w have the same direction ; it can also be obtained by combining two transformations according to section § 3. If in addition to the systems K, and k, we introduce the system k', of which the initial point moves parallel to the &xi;-axis with velocity w, then between the magnitudes, x, y, z, t and the corresponding magnitudes of k', we obtain a system of equations, which differ from the equations in §3, only in the respect that in place of v, we shall have to write, $(v+w)/\left(1+\frac{vw}{c^{2}}\right)$ We see that such a parallel transformation forms a group. We have deduced the kinematics corresponding to our two fundamental principles for the laws necessary for us, and we shall now pass over to their application in electrodynamics. II. — ELECTRODYNAMICAL PART.

Ссылаются нормы: FeedLightSignalToCompose, FeedSpeedsToCompose, ReadComposedSpeedRatio, stance-galilean

en · unofficial · sha256:74f4c1b8867d671e5dc1c87a13acb1ffb1cd5c92607e1e7501a4469fd9de1341EN

§ 6. Transformation of Maxwell's equations for Pure Vacuum. On the nature of the Electromotive Force caused by motion in a magnetic field. The Maxwell-Hertz equations for pure vacuum may hold for the stationary system K, so that $\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}[X,\ Y,\ Z]=\left|\begin{array}{ccc} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ \\L & M & N\end{array}\right|$, and $\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}[L,\ M,\ N]=-\left|\begin{array}{ccc} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ \\X & Y & Z\end{array}\right|_{,}\, \dots$ (1) where [X, Y, Z] are the components of the electric force, L, M, N are the components of the magnetic force. If we apply the transformations in § 3 to these equations, and if we refer the electromagnetic processes to the co-ordinate system moving with velocity v, we obtain, $\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial\tau}\left[X,\beta\left(Y-\frac{v}{c}N\right),\ \beta\left(Z+\frac{v}{c}M\right)\right]=$ $\left|\begin{array}{ccc} \frac{\partial}{\partial\xi} & \frac{\partial}{\partial\eta} & \frac{\partial}{\partial\zeta}\\ \\L & \beta\left(M+\frac{v}{c}Z\right) & \beta\left(N-\frac{v}{c}Y\right)\end{array}\right| ,$ and $\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial\tau}\left[L,\beta\left(M+\frac{v}{c}Z\right),\ \beta\left(N-\frac{v}{c}Y\right)\right]$ $=-\left|\begin{array}{ccc} \frac{\partial}{\partial\xi} & \frac{\partial}{\partial\eta} & \frac{\partial}{\partial\zeta}\\ \\X & \beta\left(Y-\frac{v}{c}N\right) & \beta\left(Z+\frac{v}{c}M\right)\end{array}\right| , \, \dots$ (2) where $\beta=\frac{1}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}$ The principle of Relativity requires that the Maxwell-Hertzian equations for pure vacuum shall hold also for the system k, if they hold for the system K, i.e., for the vectors of the electric and magnetic forces acting upon electric and magnetic masses in the moving system k, which are defined by their pondermotive reaction, the same equations hold, ... i.e. ... $\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial\tau}[X',\ Y',\ Z']=\left|\begin{array}{ccc} \frac{\partial}{\partial\xi} & \frac{\partial}{\partial\eta} & \frac{\partial}{\partial\zeta}\\ \\L' & M' & N'\end{array}\right|$, $\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial\tau}[L',\ M',\ N']=-\left|\begin{array}{ccc} \frac{\partial}{\partial \xi} & \frac{\partial}{\partial \eta} & \frac{\partial}{\partial \zeta}\\ \\X' & Y' & Z'\end{array}\right|\dots$. (3) Clearly both the systems of equations (2) and (3) developed for the system k shall express the same things, for both of these systems are equivalent to the Maxwell-Hertzian equations for the system K. Since both the systems of equations (2) and (3) agree up to the symbols representing the vectors, it follows that the functions occurring at corresponding places will agree up to a certain factor $\psi(v)$, which depends only on v, and is independent of $(\xi, \eta, \zeta, \tau)$. Hence the relations, $[X',Y',Z']=\psi(v)\left[X,\beta\left(Y-\frac{v}{c}N\right),\ \beta\left(Z+\frac{v}{c}M\right)\right]$, $[L',M',N']=\psi(v)\left[L,\beta\left(M+\frac{v}{c}Z\right),\ \beta\left(N-\frac{v}{c}Y\right)\right]$. Then by reasoning similar to that followed in §(3), it can be shown that $\psi(v)=1$. $\therefore[X',Y',Z']=\left[X,\beta\left(Y-\frac{v}{c}N\right),\ \beta\left(Z+\frac{v}{c}M\right)\right]$ $[L',M',N']=\left[L,\beta\left(M+\frac{v}{c}Z\right),\ \beta\left(N-\frac{v}{c}Y\right)\right]$. For the interpretation of these equations, we make the following remarks. Let us have a point-mass of electricity which is of magnitude unity in the stationary system K, i.e., it exerts a unit force upon a similar quantity placed at a distance of 1 cm. If this quantity of electricity be at rest in the stationary system, then the force acting upon it is equivalent to the vector $(X, Y, Z)$ of electric force. But if the quantity of electricity be at rest relative to the moving system (at least for the moment considered), then the force acting upon it, and measured in the moving system is equivalent to the vector $(X', Y', Z')$. The first three of equations (1), (2), (3), can be expressed in the following way :— 1. If a point-mass of electric unit pole moves in an electro-magnetic field, then besides the electric force, an electromotive force acts upon it, which, neglecting the numbers involving the second and higher powers of v/c, is equivalent to the vector-product of the velocity vector, and the magnetic force divided by the velocity of light (Old mode of expression). 2. If a point-mass of electric unit pole moves in an electro-magnetic field, then the force acting upon it is equivalent to the electric force existing at the position of the unit pole, which we obtain by the transformation of the field to a co-ordinate system which is at rest relative to the electric unit pole [New mode of expression]. Similar theorems hold with reference to the magnetic force. We see that in the theory developed the electromagnetic force plays the part of an auxiliary concept, which owes its introduction in theory to the circumstance that the electric and magnetic forces possess no existence independent of the nature of motion of the co-ordinate system. It is further clear that the assymetry mentioned in the introduction which occurs when we treat of the current excited by the relative motion of a magnet and a conductor disappears. Also the question about the seat of electromagnetic energy is seen to be without any meaning.

en · unofficial · sha256:0c153cbdd5fea645cb2deb43d6ccaa8a24f50f3bf75da024e1886b2bbc6d81fbEN

§ 7. Theory of Döppler's Principle and Aberration. In the system K, at a great distance from the origin of co-ordinates, let there be a source of electrodynamic waves, which is represented with sufficient approximation in a part of space not containing the origin, by the equations :— $\left. \begin{array}{c} X=X_{0}\sin\Phi\\ Y=Y_{0}\sin\Phi\\ Z=Z_{0}\sin\Phi\end{array} \right\} \left. \begin{array}{c} L=L_{0}\sin\Phi\\ M=M_{0}\sin\Phi\\ N=N_{0}\sin\Phi\end{array} \right\} \phi=\omega\left(t-\frac{lx+my+nz}{c}\right)$ Here $(X_0, Y_0, Z_0)$ and $(L_0, M_0, N_0)$ are the vectors which determine the amplitudes of the train of waves, $(l, m, n)$ are the direction-cosines of the wave-normal. Let us now ask ourselves about the composition of these waves, when they are investigated by an observer at rest in a moving medium k :— By applying the equations of transformation obtained in §6 for the electric and magnetic forces, and the equations of transformation obtained in § 3 for the co-ordinates, and time, we obtain immediately :— $\begin{array}{cc} X'=X_{0}\sin\Phi' & L'=L_{0}\sin\Phi'\\ \\Y'=\beta\left(Y_{0}-\frac{v}{c}N_{0}\right)\sin\Phi' & M'=\beta\left(M_{0}+\frac{v}{c}Z_{0}\right)\sin\Phi'\\ \\Z'=\beta\left(Z_{0}+\frac{v}{c}M_{0}\right)\sin\Phi' & N'=\beta\left(N_{0}-\frac{v}{c}Y_{0}\right)\sin\Phi'\end{array}$ $\Phi'=\omega'\left(\tau-\frac{l'\xi+m'\eta+n'\zeta}{c}\right)$, where $\omega'=\omega\beta\left(1-\frac{lv}{c}\right),\ l'=\frac{l-\frac{v}{c}}{1-\frac{lv}{c}},\ m'=\frac{m}{\beta\left(1-\frac{lv}{c}\right)},\ n'=\frac{n}{\beta\left(1-\frac{lv}{c}\right)}$. From the equation for $\omega'$ it follows :— If an observer moves with the velocity v relative to an infinitely distant source of light emitting waves of frequency $\nu$, in such a manner that the line joining the source of light and the observer makes an angle of $\Phi$ with the velocity of the observer referred to a system of co-ordinates which is stationary with regard to the source, then the frequency $\nu'$ which is perceived by the observer is represented by the formula $\nu'=\nu\frac{1-\cos\Phi\frac{v}{c}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$. This is Doppler's principle for any velocity. If $\Phi=0$ then the equation takes the simple form $\nu'=\nu\left(\frac{1-\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}\right)^{\frac{1}{2}}$. We see that —contrary to the usual conception— $\nu=\infty$, for $v = -c$. If $\Phi'$=angle between the wave-normal (direction of the ray) in the moving system, and the line of motion of the observer, the equation for l' takes the form $\cos\Phi'=\frac{\cos\Phi-\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}\cos\Phi}$. This equation expresses the law of observation in its most general form. If $\Phi=\frac{\pi}{2}$, the equation takes the simple form $\cos\Phi'=-\frac{v}{c}$. We have still to investigate the amplitude of the waves, which occur in these equations. If A and A' be the amplitudes in the stationary and the moving systems (either electrical or magnetic), we have $A'^{2}=A^{2}\frac{\left(1-\frac{v}{c}\cos\Phi\right)^{2}}{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}$. If $\Phi=0$, this reduces to the simple form $A'^{2}=A^{2}\frac{1-\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}$. From these equations, it appears that for an observer, which moves with the velocity c towards the source of light, the source should appear infinitely intense.

en · unofficial · sha256:d27e166953cde193853a51161ece44d20dbeee1936a3e13db3b6f100688e72a2EN

§ 8. Transformation of the Energy of the Rays of Light. Theory of the Radiation-pressure on a perfect mirror. Since $\frac{A^{2}}{8\pi}$ is equal to the energy of light per unit volume, we have to regard $\frac{A}{8\pi}$ as the energy of light in the moving system. $\frac{A'^{2}}{A^{2}}$ would therefore denote the ratio between the energies of a definite light-complex "measured when moving" and "measured when stationary," the volumes of the light-complex measured in K and k being equal. Yet this is not the case. If $l, m, n$ are the direction-cosines of the wave-normal of light in the stationary system, then no energy passes through the surface elements of the spherical surface $(x-clt)^{2}+(y-cmt)^{2}+(z-cnt)^{2}=R^{2}$, which expands with the velocity of light. We can therefore say, that this surface always encloses the same light-complex. Let us now consider the quantity of energy, which this surface encloses, when regarded from the system k, i.e., the energy of the light-complex relative to the system k. Regarded from the moving system, the spherical surface becomes an ellipsoidal surface, having, at the time $tau=0$, the equation :— $\left(\beta\xi-l\beta\frac{v}{c}\xi\right)^{2}+\left(\eta-m\beta\frac{v}{c}\xi\right)^{2}+\left(\zeta-n\beta\frac{v}{c}\xi\right)^{2}=R^{2}$ If $S=\text{volume of the sphere}$, $S'= \text{volume of this ellipsoid}$, then a simple calculation shows that: $\frac{S'}{S}=\frac{\beta}{\sqrt{1-\frac{v}{c}\cos\Phi}}$ If E denotes the quantity of light energy measured in the stationary system, E' the quantity measured in the moving system, which are enclosed by the surfaces mentioned above, then $\frac{E'}{E}=\frac{\frac{A'^{2}}{8\pi}S'}{\frac{A^{2}}{8\pi}S}=\frac{1-\frac{v}{c}\cos\Phi}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}$ If $\Phi=0$, we have the simple formula :— $\frac{E'}{E}=\left(\frac{1-\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}\right)^{\frac{1}{2}}$ It is to be noticed that the energy and the frequency of a light-complex vary according to the same law with the state of motion of the observer. Let there be a perfectly reflecting mirror at the co-ordinate-plane $\xi=0$, from which the plane-wave considered in the last paragraph is reflected. Let us now ask ourselves about the light-pressure exerted on the reflecting surface and the direction, frequency, intensity of the light after reflexion. Let the incident light be defined by the magnitudes $A cos \Phi$, v (referred to the system K). Regarded from k, we have the corresponding magnitudes : $A'=A\frac{1-\frac{v}{c}\cos\Phi}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$ $\cos\Phi'=\frac{\cos\Phi-\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}\cos\Phi}$ $\nu'=\nu\frac{1-\frac{v}{c}\cos\Phi}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$ For the reflected light we obtain, when the process is referred to the system k :— $A''=A',\ \cos\Phi''=-\cos\Phi', \nu''=\nu'$. By means of a back-transformation to the stationary system, we obtain K, for the reflected light :— $\left. \begin{array}{c} A'''=A''\frac{1+\frac{v}{c}\cos\Phi''}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}=A\frac{1-2\frac{v}{c}\cos\Phi+\frac{v^{2}}{c^{2}}}{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}},\\ \\\cos\Phi'''=\frac{\cos\Phi''+\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}\cos\Phi''}=-\frac{\left(1+\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)\cos\Phi-2\frac{v}{c}}{1-2\frac{v}{c}\cos\Phi+\frac{v^{2}}{c^{2}}},\\ \nu'''=\nu''\frac{1+\frac{v}{c}\cos\Phi''}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}=\nu\frac{1-2\frac{v}{c}\cos\Phi+\frac{v^{2}}{c^{2}}}{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}},\end{array} \right\}$ The amount or energy falling upon the unit surface of the mirror per unit of time (measured in the stationary system) is $\frac{A^{2}}{8\pi(c\ \cos\Phi-v)}$. The amount of energy going away from unit surface of the mirror per unit of time is $A'''^{2}/8\pi(-c\cos\Phi''+v)$. The difference of these two expressions is, according to the Energy principle, the amount of work exerted, by the pressure of light per unit of time. If we put this equal to $P \cdot v$, where $P=\text{pressure of light}$, we have $P=2\frac{A^{2}}{8\pi}\frac{\left(\cos\Phi-\frac{v}{c}\right)^{2}}{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}$ As a first approximation, we obtain $P=2\frac{A^{2}}{8\pi}\cos^{2}\Phi$, which is in accordance with facts, and with other theories. All problems of optics of moving bodies can be solved after the method used here. The essential point is, that the electric and magnetic forces of light, which are influenced by a moving body, should be transformed to a system of co-ordinates which is stationary relative to the body. In this way, every problem of the optics of moving bodies would be reduced to a series of problems of the optics of stationary bodies.

en · unofficial · sha256:fc6f68e520289b6601b3d40400c85ceefdb4eaf0c2a4066fde7bd9c450740b45EN

§ 9. Transformation of the Maxwell-Hertz Equations. Let us start from the equations :— $\left. \begin{array}{c} \frac{1}{c}\left(\rho u_{x}+\frac{\partial X}{\partial t}\right)=\frac{\partial N}{\partial y}-\frac{\partial M}{\partial z}\\ \\\frac{1}{c}\left(\rho u_{y}+\frac{\partial Y}{\partial t}\right)=\frac{\partial L}{\partial z}-\frac{\partial N}{\partial x}\\ \\\frac{1}{c}\left(\rho u_{z}+\frac{\partial Z}{\partial t}\right)=\frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial L}{\partial y} \end{array} \right\} \left. \begin{array}{c} \frac{1}{c}\frac{\partial L}{\partial t}=\frac{\partial Y}{\partial z}-\frac{\partial Z}{\partial y}\\ \\\frac{1}{c}\frac{\partial M}{\partial t}=\frac{\partial Z}{\partial x}-\frac{\partial X}{\partial z}\\ \\\frac{1}{c}\frac{\partial N}{\partial t}=\frac{\partial X}{\partial y}-\frac{\partial Y}{\partial x} \end{array} \right\}$ where $\rho=\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z}$, denotes $4 \pi$ times the density of electricity, and $(u_x, u_y, u_z)$ are the velocity-components of electricity. If we now suppose that the electrical masses are bound unchangeably to small, rigid bodies (Ions, electrons), then these equations form the electromagnetic basis of Lorentz's electrodynamics and optics for moving bodies. If these equations which hold in the system K, are transformed to the system k with the aid of the transformation-equations given in § 3 and § 6, then we obtain the equations :— $\frac{1}{c}\left(\rho'u_{\xi}+\frac{\partial X'}{\partial\tau}\right)=\frac{\partial N'}{\partial\eta}-\frac{\partial M'}{\partial\zeta},\ \frac{\partial L'}{\partial\tau}=\frac{\partial Y'}{\partial\zeta}-\frac{\partial Z'}{\partial\eta}$, $\frac{1}{c}\left(\rho'u_{\eta}+\frac{\partial Y'}{\partial\tau}\right)=\frac{\partial L'}{\partial\zeta}-\frac{\partial N'}{\partial\xi},\ \frac{\partial M'}{\partial\tau}=\frac{\partial Z'}{\partial\xi}-\frac{\partial X'}{\partial\zeta}$, $\frac{1}{c}\left(\rho'u_{\zeta}+\frac{\partial Z'}{\partial\tau}\right)=\frac{\partial M'}{\partial\xi}-\frac{\partial L'}{\partial\eta},\ \frac{\partial N'}{\partial\tau}=\frac{\partial X'}{\partial\eta}-\frac{\partial Y'}{\partial\xi}$, where $\frac{u_{x}-v}{1-\frac{u_{x}v}{c}}=u_{\xi}$, $\frac{u_{y}}{\beta\left(1-\frac{vu_{x}}{c^{2}}\right)}=u_{\eta},\ \rho'=\frac{\partial X'}{\partial\xi}+\frac{\partial Y'}{\partial\eta}+\frac{\partial Z'}{\partial\xi}$ $=\beta\left(1-\frac{vu_{x}}{c^{2}}\right)\rho$, $\frac{u_{z}}{\beta\left(1-\frac{vu_{x}}{c^{2}}\right)}=u_{\zeta}$. Since the vector $(u_{\xi}, u_{\eta}, u_{\zeta})$ is nothing but the velocity of the electrical mass measured in the system k, as can be easily seen from the addition-theorem of velocities in § 4—so it is hereby shown, that by taking our kinematical principle as the basis, the electromagnetic basis of Lorentz's theory of electrodynamics of moving bodies correspond to the relativity-postulate. It can be briefly remarked here that the following important law follows easily from the equations developed in the present section :— if an electrically charged body moves in any manner in space, and if its charge does not change thereby, when regarded from a system moving along with it, then the charge remains constant even when it is regarded from the stationary system K.