Школьная арифметика: действия столбиком, дроби, системы счисления — авторское изложение

ru · official · sha256:d0cf2d85e508290b92aed5c7798be28071940a74650d8937ea5787bc13730e73

§1. Позиционная запись и общие понятия Позиционная запись числа в системе с основанием b есть конечная последовательность цифр, в которой цифра, стоящая на k-м месте справа (счёт с нуля), означает произведение своего значения на b в степени k. Число, записанное цифрами, равно сумме таких произведений. Разряд — место в записи, характеризуемое весом b в степени k. Перенос — единица, передаваемая в разряд более старшего веса, когда результат разрядного действия достиг b. Заём — единица, взятая из старшего разряда и обращённая в b единиц текущего, когда разрядное действие невозможно без него. Деление с остатком целых чисел: для целого a и целого d > 0 существуют единственные целые q и r, для которых a = q·d + r и 0 ≤ r < d. Единственность здесь существенна: на ней стоят и деление столбиком, и оба перевода между системами счисления. Наибольший общий делитель двух целых, не равных нулю одновременно, есть наибольшее целое, делящее оба. Наименьшее общее кратное двух положительных целых есть наименьшее положительное целое, кратное обоим; оно связано с наибольшим общим делителем равенством НОК(m, n)·НОД(m, n) = m·n. Обыкновенная дробь есть пара целых (числитель, знаменатель) при знаменателе, отличном от нуля. Дробь несократима, когда наибольший общий делитель числителя и знаменателя равен единице. Две дроби равны, когда произведение числителя первой на знаменатель второй равно произведению знаменателя первой на числитель второй.

Ссылаются нормы: AnswersHere, f-04a24897e13bab49d4265d33, f-05d05f906e89f7883420b986, f-15d5ec542882b478aa5431bf, f-172f5b6baceb7559bdf21217, f-1a2a09a62b945aec947d3c23, f-1d30e50ffaacd090e0aa09ca, f-1d6ae440a8fefb85eafff85b, f-1ef88821da0ac8c9dc79d471, f-2f892d0e37449a393a5573b8, f-331d103ec360ee5d7ea6edad, f-3af8eea346cc8b02982f824d, f-44e024f9f1c5733a48236d97, f-4c79c667b35c57d26d30d692, f-4e4d5ac7e4f64fd945e39536, f-53351f50914bc775f12fd8ff, f-53e84d1b0a2198a11e7c7e8d, f-57b774f6c6c794bd31a19754, f-583c473f45f293d0510e99f7, f-58791186046a7b64453d9b34, f-5b1c4a8644028c93fde02ce0, f-5d7a1307c97c6cc4cd3bf50e, f-66f2f31aea9e4bfc7553ffd8, f-68169c95df92f211d775efd0, f-69f86138460b704821842bd8, f-6fc9698ad2a593c2e0f4aff8, f-6fe2ab5dc479b3d0a106cd69, f-72116f80e5ce3ed1e38283b7, f-752e90455bce183cdfb51375, f-761180d2a5c313ebbe723d45, f-7a094b48ec058c727c9ff951, f-80035ec36379c7ad21360173, f-811e585ee8ad52ed618fac99, f-85c9e0ff6a0508f2f72e5c7a, f-8a6e5656c7c9ffbe17a0a2af, f-934b5734c075fce89378de1f, f-947b8f740f9e3b55fa37b2c7, f-a728d0aa57e9e36e52348515, f-a8714bb1d630cb328d130183, f-a8dcddeba9b815eb9284fc9c, f-af52ebfa66ef27ba63579777, f-af9c266ca8975812bc1637f5, f-b0f9ce0773c50eec22714958, f-b5afa0aee43598d118eb15a0, f-bb74ce2844f7c3105a6cf227, f-be42a5c7144baf2e6e88d8fc, f-c2a043a6bec0944a6ded1b4e, f-c4047c5782b21edb8794e4df, f-c5f72693116a29ab5cc5bfcd, f-c92eaf6ad2654fe602dfcaff, f-d8fa480a0c1eaf0ce371b6d0, f-db8c1dd4545c057b86dd0cfd, f-e2189fef7e1b6b630ef0c983, f-e234354fda2e07f701b5e48d, f-e36178425f49f28de936f45e, f-e4268d0c28183cf9601ba9ad, f-e52c557942b060aea732e336, f-e561c4acade7e76984547684, f-e7776ee06566bfbc1239d90d, f-e9332f9d9c154ad4aa794a2a, f-f433ec0bb8913c8aaef2f488, f-f5f6a4c9e075a9f5a6e5d892, f-f920580da77992b7a279996a, f-fd2640a2a880c1b58d0f2efc

ru · official · sha256:ab0e4da99179503de5a6ae5d4d96fac082d1e94034c24c82d913f60d9b22952c

§10. Умножение обыкновенных дробей Задача: по двум дробям получить их произведение несократимой дробью. Вариант — перекрёстное сокращение перед умножением, затем умножение числителей и знаменателей. Перекрёстное сокращение — деление числителя каждой дроби и знаменателя другой на их наибольший общий делитель. Оно не обязательно для правильности, но названо частью варианта, потому что удерживает промежуточные числа малыми; изложение, опускающее его, описывает другой вариант. Основание корректности: произведение дробей есть дробь из произведений числителей и знаменателей; перекрёстное сокращение опирается на то, что деление числителя и знаменателя одной и той же дроби на общий делитель даёт равную дробь, а множители переставимы. Крайний случай: нулевой числитель у любого сомножителя даёт 0/1 независимо от знаменателей.

Ссылаются нормы: f-0561f4ea44a6840f7ea23b97, f-05fa043f853733b7c17678a4, f-088ca16902178a1fbaf00ec4, f-09ae57fa25d0173c4f1e7832, f-0a314230c07f531a53145ed9, f-0a4af1d4e686703d370f66c5, f-10c42a704cb3381087a19962, f-18b0388edaa7028162b9a234, f-1a9f76dbafcaaf0d4c52488d, f-1ac458f9f897e489814dd62e, f-1d529f7b7dcf3eb3eee6a18f, f-20b26078cfe46de734550f07, f-24d7f22bc8130ef90ed35aba, f-24da0b8aee80432a762e6c3b, f-33603fbffe822aaed844c1a8, f-33e496bcc5836972735ccc9d, f-35ba0e58233b0f1a8912708f, f-3663291d35f967517d9ec0cf, f-423ca0a074fd86fc7a8f7558, f-429eccd560418c8d62906acc, f-45c180417fa2f6be49a0d70e, f-4b618585b0b47174d275ee0a, f-4e10f6b13b2603dab3c5df3d, f-4e955929edee65bea1caa9f4, f-54e246e126eb6be44deaf29f, f-59ec09a099f6740a7dbc8cff, f-59ee623e6e03df55b50f8ce9, f-5a66413717da863b59733064, f-64063e95390729d3b8fea8e0, f-64898f27da5bdd36df636e73, f-66224994c8cfa05e9ab487ef, f-67964f0dd600c9a6dbc14cb5, f-6b057d276d2b0da77bc47aa3, f-6b42718e025a3d277fd7d4ed, f-702414fdf0c8279cedc28b3e, f-710bea82189561bde00aa60f, f-73bef7335ed23d1b6561c28d, f-76eba3b19fa18956d52cff21, f-77a9f8d90da532ec031c28c1, f-7f11c097b1440d4fbb9b0826, f-82c6e5ec7b11fdea856d3627, f-842a0ceb1d6c01cd3c77e517, f-87ce2216fc93e20067945b55, f-8db4358916750abeae5c3c0e, f-8e726fe23b7292444c28da87, f-914b772873b1f079b2872078, f-91c03699e76108c0efd1fb89, f-9520fafbcde1cf4ba0b1e9d2, f-95d3705a049e0189911621c2, f-973b91ac3a1e2120aa4935bf, f-982ef2e02191fc250d9a33e9, f-98a0ed75be3b33c4c37a4707, f-9ab0d4a0e6f19b5f03175893, f-9b4d27eae3b4cff7dd05849b, f-9d2320f9f5f474a85b75354f, f-9e3abfbf7a4b73100476c71a, f-a04fdd0591b008ff4e13a922, f-a110a88e1471281782be9124, f-a2f0a57bd8ae4d3e50efb004, f-a4394478c6f03d8b45fe76ff, f-a54f294dd52d0cb11de57776, f-afb00af88360bac4e9b7a50c, f-b1901deb3b802303fe1d44c6, f-b5b83b6cadf3488c1234429b, f-b717fae658bc057e19c8b89a, f-b7204fd310d664d36015b1ad, f-b9d6d8c2812b97a434d6a867, f-ba5359c3b455ea070ed5c384, f-bf270665be8aa54e1ebc8352, f-c031deb514050d2fda64d1bf, f-c458d1fc99acce81309ef9a8, f-c5c6db714eca69649a944c2f, f-d23b2b55dc422a7f92003f3a, f-d2c1d29d32964309eb3f90cd, f-d37cba207b614c7be5c2211d, f-d94f5e4bf4cede8272294a99, f-d9544381b84aa023fd8d91a3, f-d95605bfec47a122395d8680, f-dbf33e4b7bd1470983dadeff, f-e25891e6a55e64b6a5c6acb2, f-e7d711cb1ba6683216c1286a, f-eab3ad0e88ab5dcf06f06499, f-eaefee8cea91e4cedb9d1d12, f-ebda90a183e9f694658b9ad4

ru · official · sha256:ab35842cd9133566e6dcc3d06081e588460ee960363e4ffc663a0fa1d685a6af

§11. Деление обыкновенных дробей Задача: по двум дробям, из которых вторая отлична от нуля, получить их частное несократимой дробью. Вариант — умножение на обратную дробь. Обратная дробь получается перестановкой числителя и знаменателя; при отрицательном числителе делителя знак после перестановки переносится в числитель результата. Дальнейшее есть умножение §10, и оно названо вспомогательным алгоритмом. Основание корректности: частное дробей есть произведение делимого на дробь, обратную делителю; существование обратной дроби требует ненулевого числителя делителя, и это предусловие названо отдельно от предусловия «знаменатель не нуль».

Ссылаются нормы: f-0377c6ebf0b68044f14efd4a, f-0c03b2cf8b8197f537afd65c, f-0db9abd41bbd5743ce551a09, f-174cfd4b4d44448dd696e9dc, f-1d2c8c571fa663de334558dc, f-1d86cb09dc76fa2aa9b6b94e, f-20559603e56ea61272729fa5, f-211474beae7c6673e2fd08af, f-21811aabb00114bef91578af, f-246646f8c87a653e19ff2e01, f-253e7cb3e4d09f6da2b9a3b0, f-320892f6097fb4609c90d2d9, f-3c6193241bd1bcbc4d102256, f-419e612b066f6cbcfb626cb4, f-5297cdd197ae4013de50e12d, f-57fb1c97bfcd7637270ad7b4, f-5a056aeefb9cff2ab4de56b5, f-607c5134f9739dde05749cf9, f-62e1462c86d8091256daa154, f-64f621747d405c1caf7c5a52, f-65244526dc5c6de3f26c7c31, f-679321d2a9941d55f82c1fd5, f-6861a6f828491d6c85b2f557, f-6df6038f7736425596dc9c95, f-75fa849aa2293b0bad789471, f-7922e9f479057472c56050d3, f-7c92d07113a0f8fda00c347f, f-80680620a5d643ffdb0e4b02, f-81fad0748322c4a1c5be49e9, f-874f9e8b9ba0dae527e46503, f-9010dc55a11b62fd32333f72, f-9182b53b6575c2599954f40b, f-937cd3a1f4bd83524b5cfc82, f-947cd2672a34cdf7d93c819f, f-96dcd6579ee215b9363d46a6, f-98982cbc3cef9b8c9afb3823, f-996e4453d88c895ec660829b, f-9998f86033781956e680a86c, f-99d0c480469bbfa5a1d5c082, f-a29f672a2437a520082750ee, f-a2f01c5deac38a0c7c38ed5d, f-a806d0625a2f42666d773cf3, f-ae2a5d4609241791bdeffb16, f-b5b8c3b070b8d2aadde9efd4, f-b7133e7edf7ed65e872a6988, f-b7b275d60ea5460422579021, f-b9691213db5579efa4125901, f-bceec31419bb93c96f0da8e5, f-bee24818f2492154207c695f, f-c14295d6a61144f309cfd4a5, f-ca1be221a12ae650573b2d62, f-cc33b1092352fa14c4f2d617, f-cd58bb8ad1c7146923229e0f, f-ce53ef63620188e1c4af4147, f-ce9c57d6e57dac1096fdcd62, f-d17846864cc181b6c1a23aac, f-d21b6cd10394256b07df7da4, f-d9265a5708c518ae08e02338, f-dc07b53cdb70ad0c39645d11, f-dec9be50dca1cada72555ed3, f-e1cdb057c278f1e93526ae88, f-e69a3ba53e7778aff8f0ff59, f-e9ab578b1b6ad50be0d208f5, f-e9c7f8bdd3c8323fa02ef320, f-ea01bf40e3c70d1384c35466, f-eb58ed9cd299e6a0e4291055, f-edc8648288b34d323f43de0e, f-f07afb28b78ccafaa3118c3c, f-f3ab3a34eae2499416e4ac20, f-faa8723da192a3f1830e9142, f-fdf1295ec306179eb5825dd0, f-fe89d393a77495e825dda2dc, f-ffda5c73956ca89cfd5e3702

ru · official · sha256:a2e3e40b350426a2c2b19c8ecd298180d2e8428b17407330a2ac3e921a16e651

§12. Перевод целого числа из десятичной системы в систему с основанием b Задача: по неотрицательному целому и основанию b ≥ 2 получить его запись цифрами в системе с основанием b. Вариант — повторное деление с остатком на b, цифры читаются от последнего остатка к первому. Число делится на b с остатком; остаток есть очередная цифра, начиная с младшей; частное становится новым делимым. Повторение прекращается, когда частное равно нулю. Полученная последовательность цифр читается в обратном порядке. Крайний случай нуля назван отдельно: при нулевом входе цикл не выполняется ни разу, и запись обязана быть предъявлена как одна цифра «0», а не как пустая последовательность. Основание корректности — единственность деления с остатком §1 и то, что после k повторений накопленные цифры суть k младших цифр записи. Завершение: частное строго убывает и неотрицательно, поэтому нуля оно достигает за конечное число повторений; мера убывания — само частное. Оценка: число повторений есть логарифм числа по основанию b, увеличенный на единицу.

Ссылаются нормы: f-000fcafad97a381319abc6c4, f-004794072212efdde6919b4c, f-036e405de9afe0f1c3458ed6, f-0390b44d5bb673c47b34f71c, f-0c3a3c79e86ba33dc4c44d3f, f-0c8ccddfb6a7d715b3aa762d, f-0ceb6dfb82025a452a4e684d, f-0f24518462a8da34f65ee93c, f-1108789b84c4dd182bb84057, f-11568727cabceaf30c595182, f-137dc56fe2ec6fb801bcef3f, f-13e0e3d3af65df6b850e4720, f-1ea891ba7bf41852d90e3a52, f-1fcb1cae76eea53f5a526e6d, f-2127b0a58701aaeb5b70cde4, f-23404fbced6feb5cadf8df74, f-23cbe1932748d63765686df1, f-2569856004525976c393cae7, f-26d7f49bd3ac5049d9db5661, f-309a800253b9a88b332003e2, f-318a856ac71c570cc24e42de, f-335fbd3311f65b6fffb43a88, f-3475553396f28d3b62c01f1e, f-3b646b82db8ed4f65099b8bb, f-3dc4d4610666839e2610bf07, f-42b76ba272a8bc3e14be8b34, f-43462a09ea0c8eef9a5b70ab, f-46235233b1e4adaa2f0944ab, f-4853b2413d5b9cc2915eab95, f-4872dbed60004e4fe7f62024, f-4eb1002d09215a409f9c0ca5, f-4f7dd10d519254d5a5f68d8f, f-52751ff361587777fdbb99d0, f-5290e15d2dfb7f7fe393ade1, f-55599d5d9b691bb112450a1e, f-56c99807a1c56901272555e4, f-57a94473efa8ba2524dd3d8d, f-59a21a7ead19965a38c4db31, f-5ab14edca9ae3e8c512581e7, f-5bb7531a0f91af79fbc38225, f-5c04d6fe9dc25f45b9e727f5, f-5c85c480e9b7bb33e03feeb5, f-5e005fd87e669bba62e319fd, f-632548e53b8459eab7016890, f-6577631d7e17a530aba84b9b, f-6cd2a7afad0bd4a0c7b9505e, f-6f6b9189318f01fb95f593bf, f-70b5fdf540546c832c00a151, f-70e28bb5b1f6f8f722b26bbf, f-78770c8a56c06a170886018d, f-7ae29e6b2951f69b96e459cf, f-7ffb3bdc7546e69b8087c920, f-884db3bce609a6f3e61ca73a, f-8c9ba1527123e6c8dae65c3e, f-8f785a3408761fda71b7cb18, f-90f40a5bea3a5525b4112b06, f-95c89ea8c280214c1d7aa293, f-95ecef6441876575cee3fd58, f-9ae5303c0c3973092b48dd4d, f-a01ececa1f5d7c3369ff96a1, f-a31587535983db2fcbcecbd1, f-b2e7045de3dbe5c4c490959f, f-b2ed5b5da57693f6de83c442, f-b2f347ac3cc5a6eb24073fc4, f-b6d2b61e9b4dfacbe3bfd1bd, f-bb9f642c3507e2fe0d2e110d, f-bfcb79ca3ddd843a583e17e0, f-c33eae5d67c1cb13babb1d96, f-c47c86aa698515d2a7837e91, f-c5fb7c70c456503585240722, f-c91f5063e8cb32f5fbdce4a1, f-ca23eeeffe4225cc667e123f, f-cc0afbe7bd615d55f90b1eaa, f-ce56bf9a8a7e5e7a2f798d02, f-ce62a39974a3282fd97c3207, f-cf365c1e3f62d40fc8af010a, f-cf3cbcf0852c26b1b8d3c5cb, f-d474007c5dedfe591cf6f1ec, f-d92f9736c8518c0c5b2d86eb, f-d9b69f5a350aa9c0b72d8976, f-dc1355bde2d32d7106b25474, f-dd213ced1be838d73165f609, f-e1306ccfe2473644ebba9de4, f-e1e58b4df69736032481cd9e, f-e548bf934d691f7d27a4f49b, f-eacd2bd72406fdaebe8356b5, f-ec324d3d76e123a46d024bb0, f-f135414352c874342ac56c3b, f-f40a4ca5055e8da8009c3682, f-f4861cccd5f198a544f8d89f, f-f6fd8caec272bfc4469f5548, f-fd5a7bceefe530807716c087, f-fdd1cf4ce12fecfa7c26539d

ru · official · sha256:b1feaa636af2f6817af371dd7850be6334cb23ae242763af8db91cff784f9525

§13. Перевод целого числа из системы с основанием b в десятичную Задача: по записи цифрами в системе с основанием b получить значение числа. Вариант — схема Горнера: накопитель, проходящий цифры слева направо. Накопитель начинается с нуля. На каждом шаге накопитель умножается на b, к нему прибавляется значение очередной цифры, и шаг повторяется до исчерпания цифр. По исчерпании накопитель есть искомое значение. Основание корректности: после обработки первых k цифр накопитель равен значению числа, записанного этими k цифрами; это инвариант, доказываемый индукцией по k, и он же объясняет, почему прямое суммирование степеней b не нужно. Крайний случай: цифра, не меньшая b, есть нарушение предусловия, а не ошибка вычисления, и описание отвергает такой вход отдельным шагом. Пустая запись входом не является. Оценка: при модели «одна операция — одно умножение и одно сложение» число операций равно числу цифр записи. Метод Горнера тем же приёмом вычисляет значение многочлена; общее описание вынесено в пакет многочленов.

Ссылаются нормы: f-003e20fd7e2a8308b65100c7, f-0131d98ade8c21d00ae47e71, f-04947883678d81d70cc11556, f-078649ec86525698ba1c0f7d, f-09238ece02bcb17839bc2583, f-09f273cfa5fb904cec5ea065, f-0d0f89a83bab11cdca5d43a5, f-0ed4a252052ade4decb38c2a, f-0f24fcbadf8821ce9536f078, f-0fee0264bd4d33ade3e3fdbf, f-13d7f801c13c0e9c5321987a, f-1a1d3701090951290ce7f889, f-2650e29d8247219f0b8636ca, f-2abb0e248ed4205183b69fdf, f-2f2c6b6b06bcbee238819b46, f-34729b942ed3d9e57a04c705, f-3ac7ee6f116512c146a5dbce, f-3ce2125eff8d61ab9909bb30, f-3f0e03cc86a5d415c21d8bff, f-406df2f43a8681b8d53d92d1, f-428f67636e3c58928d6e3fa3, f-4415d14f79031f6a1e6000da, f-53fcf2ab5fe1d0de3e0eb711, f-5579db35655674e761601470, f-57ee114f03ce7b98dc6ea189, f-5da7015247d57f2078023209, f-5f133ec153d50c11af38eaaf, f-606def3c8b807f92bf4173b1, f-696dd911ae00b5d2a36dc977, f-6c48b5cb0d680c1408291329, f-6f2a7e079be3d6717a4f0f2f, f-7084fb69d33b5e5405216b30, f-71c14ae12a873ba884c1f3ae, f-7458b409c6072e004691535c, f-776276b2f9deabca437611b4, f-78ad9d206ad4262b2b736b37, f-7ead26993100639815be2e98, f-84eece783029e49ad944f371, f-886a6246f983559c696b3af9, f-8ab53961edb2864f90b283e4, f-8dca060d97c942b54743fbf9, f-8ea6670e7d4c0228eea251f0, f-904c9ace5cc72bd18c917533, f-9161c1ae9a70de749fce92ff, f-92878c98441bc6679c1a6e99, f-96bbcc322a94d8377014a87e, f-9eb3980a4a0495d05e339213, f-a4c0bd68e8b9ca334ba6a5f6, f-a54c4da048a352700bb225d1, f-a635d78d19e92af5559fc5f4, f-a9f664c2a1aa8d08ea327719, f-abe06b28318688d347d23c19, f-ae984e249bf84be3c4f3577e, f-b128f2827f4741c2afdf4196, f-b2cefcd1bc20aa183ad48aba, f-b3bd61a439579c21507e3911, f-b3d8a0e9ae78b610683cfb0d, f-ba94a4e13f0bb8ec484f88bc, f-bb177248f48857bbd892432e, f-bb6a344c6ea38499b1a405e4, f-bbe18a2321c6138e2e810985, f-bc88618655355f17a7efd5bb, f-bebb39dd905c8b3cba81208c, f-c507cbef6bcf5167b211e6b1, f-c88c9ce2d0f8f3decf17d2e5, f-c9928f49c4abaa400933ccda, f-cab64fed99646c6bac47554a, f-cc5ccb28314dec88786137fd, f-cd8788f61ae66d8f2b59748d, f-d0eea9c29df69f10fbd1e0c1, f-d1b4f67c3595a0c942ecc4bb, f-d3b1a69df0d38cc357412dd2, f-d41836abfa641997e34a3497, f-d9070b43106befe93a3d6ce5, f-d98b9b668a40132d86a0affe, f-da95b8b01f285fa2a9c0469c, f-dfeab5fce72c60f1811e5b33, f-e668b1046b81518cb13967bf, f-eb08e93bcff5e3e0715cdb66, f-ed8e46db8917fa1e57959366, f-ede39d1856a7a603b844d61f, f-ee0c8b2d467fd891905221a7, f-f4881ce78b14caafa8237d03, f-f76c357d35350d19ded12699, f-f7e74f5b84f235eba1e54ef5, f-fab26e4e39c9acd53fc8b4b2, f-fba735605b70889711996c5b, f-fcdf365e406de48d5f04d700, f-ff4aaf5d24c0e4d0f06f714c, f-ffb32c449824a8d3091b8388

ru · official · sha256:ed448c781558b42c39a37a71a52c7867f5bd929c4ea3ffe3c148b1cb6283a66f

§2. Сложение столбиком Задача: по двум неотрицательным целым, записанным в системе с основанием b, получить запись их суммы. Вариант — поразрядное сложение справа налево с переносом. Записи выравниваются по младшему разряду, недостающие старшие разряды считаются нулевыми. Обрабатывается разряд за разрядом от младшего к старшему: складываются две цифры и текущий перенос; если сумма меньше b, она есть цифра результата, а перенос обнуляется; иначе цифрой результата служит остаток от деления суммы на b, а перенос равен единице. По исчерпании разрядов ненулевой перенос дописывается старшей цифрой. Основание корректности: сумма чисел равна сумме их разрядных вкладов, а перенос есть перенос единицы веса b в разряд веса b·b; шаг переноса опирается на деление с остатком §1. Завершение: число обработанных разрядов строго растёт и ограничено длиной более длинной записи. Перенос не может превысить единицу: наибольшее значение суммы двух цифр с переносом равно (b − 1) + (b − 1) + 1 = 2b − 1 < 2b. Это утверждение существенно и обычно опускается школьным изложением. Оценка: при модели стоимости «одна операция — одно разрядное сложение» число операций линейно по числу разрядов более длинного слагаемого.

Ссылаются нормы: f-0468d55802bb002ef2889a47, f-04cd25f368c3ab682a07d725, f-05c65972dbc5e72ddce00309, f-0aad0e6ec9da308c9ec20d17, f-0b82deea58f65d5d634f547f, f-0d276c5b1521db20dad4510d, f-0d4bc3ce44945687f28bb014, f-0e923106a33acfc790d97fca, f-12a8cad70c1dc6c15f19e555, f-12bdd2364368cb08e4f94efa, f-145fefe6e98cd360b7d1fc05, f-179dd43d6c3619a70aaf8f0b, f-1a30288dcee5692770af62c8, f-1ab7b2917fc908d368a40982, f-1beee8b14e2fdedf4e781218, f-1c791c932331f2add9b6cc25, f-1f81749dee1e4e495bf65237, f-1ffb94af524810fab3e3a088, f-2125c11a112b7f453e9b296b, f-243bb7109003108faf936bf5, f-281424fa72bf8709d32edb4b, f-294f9f8f7df49e7dbd43250c, f-3136fd246b88c4c8363e7558, f-3141a5d2e7ffd9783919af7c, f-34e7a9cb8203c167caec3bb6, f-35ae3639e2d91d2b4e98d8f5, f-36281dd9d82029d92b6e91a5, f-37b94b43e6a88f789d29c470, f-3fb3f501991ad6865948fdb0, f-426900f286995d867dc3afa2, f-452bf2dadbecd2f88c78acbe, f-461e12786fd391d6e1b17df9, f-47541bc791c0432ac7a364e0, f-4797ee8167217898e594b0a7, f-4806d4c5939d2b0d9e0c2562, f-48b9074523cb246d58931022, f-4d06b5a774c3fe0b87970dfd, f-4d36ef2840e19d2c777e8056, f-5250aa8cdbec01ce599f8ec3, f-54ca9b5a90ecc8cf23b9fe24, f-562a6d340afbf4cf92036c6f, f-59539dd65a7fc2d986270c4c, f-5b46c1093adc624a829846f7, f-5ca5bcf2a2f9f37cbf41e0fe, f-5deb6526fe1db60ca1a75288, f-64f09c2ae99f026eae3a949a, f-67135926679a6eb8320fcaaa, f-6ababd6c12c4a2b9533b5072, f-71deb8ecc1742d2c92c72db0, f-768c7629a3a3764b8092edfc, f-78afec305cf1792b335f26de, f-7b77df2ca1362634f1a00758, f-83ac480df7dc6ad15f375696, f-85f74e07ebf63865303ef150, f-88d909704b7d31d873d0dc78, f-89c60342af497124c13fb098, f-8ec00a4af68df81c37a73fa3, f-965ce7ab101ab66f733897ff, f-97a5e9a3605aabd322f9a905, f-9846f06744045b49afaa73d6, f-99027cc49f67639d2937dfaf, f-9b96d0756789490c5618fcaa, f-9c8bece0623c6a69b87fa88c, f-9eaee837439bb6176a545da2, f-9fb8c272d4c8b6fada51842f, f-a025535c1fd2f9a9f586614d, f-a0d85834dde1f20b1ee062b1, f-a31cebabee3fa57b61a5d998, f-a4a380fc032e0732f1cac978, f-a5e99061034b0cd47a27f7d9, f-a8367680cd5eb71b13cf0e80, f-a9f899154cfacc4a89d9a7b3, f-adbf75b3687642013768943f, f-b3b7b775d35830aa6119c974, f-b7a5c978d4a06595e59c0bdf, f-b83d5f781d0f09c8a74d457d, f-b8768cb143d1c19996df6fd8, f-ba5b8b2cda407ec91c82479c, f-bb9e9e66217f5f3e7d59d8b6, f-be6caa6ccf40baba91de4c66, f-c9d4898dff51dfe826e5ae9b, f-ce838e593deae3255c5d3f21, f-d161ba330bef001f214b58f2, f-d3c9156e1d3829a59ad264c7, f-d75b58001e0b2de7b9491eef, f-d82167cdcced543a4da92f26, f-dad78155673ca44800c61b19, f-df8ae4c7df617971b305ebf6, f-dfd29a1347f91dfa47d7582c, f-e8551066363289da5655c6ca, f-ebdf4fa4d7567c3e16bb0f11, f-ec017ef84bfe851309924c58, f-ed4aa5191701ab9e24642751, f-f2aba6f939e49c819abc9d46, f-f475dde4ef9692056943e9b4, f-f60427121b605ae28da27ebd, f-f9ba7bb0d124ffbc82e31dad, f-faca93d28f109da99ec6b7ac, f-fbc6a0c596530c9251ba9172, f-fd0422d9b5941e75b3fad206, f-ffc8d4d8018fbcdd9868cef1

ru · official · sha256:dbca90d2c4e1bfabfb3912c66dce552fd867529b34884c033687e29da2ee8f68

§3. Вычитание столбиком Задача: по двум неотрицательным целым, из которых первое не меньше второго, получить запись их разности. Вариант — поразрядное вычитание справа налево с заёмом. Обрабатывается разряд за разрядом от младшего к старшему: из цифры уменьшаемого вычитаются цифра вычитаемого и текущий заём; если результат неотрицателен, он есть цифра разности, а заём обнуляется; иначе к результату прибавляется b, он становится цифрой разности, а заём равен единице. По исчерпании разрядов заём обязан быть нулевым: ненулевой заём означает, что уменьшаемое было меньше вычитаемого, то есть нарушено предусловие. Основание корректности: заём есть обращение единицы веса b·b в b единиц веса b, что оставляет значение числа неизменным. Завершение — то же, что у сложения. Крайний случай: ведущие нули результата не значимы и снимаются, но снятие есть операция над ЗАПИСЬЮ, а не над числом, и в описание входит отдельным шагом.

Ссылаются нормы: f-007d72303036bd6ee221aaeb, f-00f186db3f57bd61cd61eeb3, f-01c2ccda8da40527f3f92509, f-01f0e63aa2534eb631c2950c, f-043b9ed54f440539701a9219, f-059e02738e25048e5d2be270, f-08c4bbdc2cde44d049f2f2f7, f-0ac990faf318e5498bc4832b, f-10008a304d438094cbf5b351, f-18858ee1a51fc058dd191e14, f-188f47df30322190b393bb8a, f-1eac15a134817ffd6cea6e5d, f-2050c9ca9e24301cf5eb4d84, f-212ddd930ac46a060726a50e, f-225e79ce90ad8bd2d36840d1, f-229ae8d5a33339670a6c4598, f-26278df11628964fa303fb3c, f-262da08ffb79995a637af96c, f-283f6d0325272190356d537c, f-2b475ac1ed6fc8ddaa5c6520, f-2cc829a3f2cb20a07881616b, f-2d77535cb2d0518dad1a3295, f-2f465e9b86406a51187cb86a, f-35c4c4ddfd5c4c091a3bac9a, f-390715d291fdc114b4d5abe2, f-43696730889b1ada8b405da8, f-442a1bee8a9b584fa56133f3, f-49db46405a766886b0daa0cd, f-4a19b79f2731bcc183e86b73, f-4a6a2b804ca6be9bffa700f5, f-4c5c3e42a66791a9ca1a465a, f-4cda0c9ca6b2fb443824fecf, f-4d478c961c997c1c745a3578, f-4ea672693077bbdb55405c49, f-51a9dd9eba4e3226906c0904, f-523c40de936fc17bdd7e66ac, f-523dba2ba6c68c7e810fc9ff, f-545be4808ec49cea1f48fe3c, f-54a0861fad8832d468f69d98, f-54ed30f02ef476595ffa3c3c, f-57af4e8810b8bd5313ae049b, f-588d57f6146f8dbbe83d42ec, f-5ce5552365ce4e7d920d244d, f-5ce7a9d4d1cdc94e238f79cf, f-5ec28e2ff6df392ee1e1050a, f-5eefb1accfc4c8356f5f26b8, f-640ab25b5ca45c187d40e05a, f-6490d61c3bf697790f14a141, f-6a08b100d86e54f778414ff3, f-6ebcaf0def62a9182b913519, f-7092d38c611ebdf79ab02715, f-73a7c6a8b9663ca8ba62f371, f-73def82a02c26bca1200fa5d, f-8691f232035cdcb3dfc8cb00, f-89131eefd1f88c0dfabc5200, f-8c1eb9ebffeb2143df1c32d8, f-91c4da339c4a50b29311765a, f-97dcf16cc43c73b64a3c8af6, f-9aed62f438a3148674af865b, f-9b32b0decd2adefe0a80d8fe, f-9c0995be1bd15b2ec74e9fba, f-9c307b06bef27965a25017ae, f-9eaab4496135e864b8e137f2, f-a60e613d4c83c75f96578c76, f-a826d7a65f82573c953777ba, f-aa06ada49f01d055fe0afd52, f-acde43ac07b5fe4b21bbf2eb, f-ad0d237e25e18c221d32a63f, f-b08d20b956399471098070dd, f-b0a481e8a728e1e2a6e4a7c0, f-b1f4f02a78e0913da7d84a7b, f-b47cb82315415650ffd729ec, f-b5703c234929e184793d893d, f-b5b75dc977958f680e5efbef, f-b7e91884e900a8d4b912dee9, f-bac95ca6b890b15484a49e23, f-bc07e7a9f23f215258b9cbd1, f-bca735212607f1c00be16d62, f-be3c46f2419710f75fb4a5a5, f-c44191ec013a9ec3a8f71799, f-c61914404dea1338d902e02c, f-c6783c00841da9c19ce5c992, f-c69188c553008e0668b10574, f-c97aed064d62ab185bf1488c, f-cfc59ebd667fec0fbf7bf271, f-d6d8e6fec71d422e8738c4b6, f-d8736a9f677843d2cada150d, f-dad31e82cb551e64aad9f70d, f-df40c435dbc0575d365ef27f, f-dfab7ab98a9a8a70102c2dcc, f-e4e41735286680e79fd42e93, f-e66315442de7f70a38b28c05, f-e699f4f832c05c3839fbb01a, f-e7800eeca926df30653e6616, f-ea528d32666eb9528bd39eff, f-eb499f5f91a8da8deb07dbf4, f-ebe3a214354c067edf9ed39c, f-ecf5a5799a4c50d520c7a2b6, f-ef57865cb5383d06a8631c53, f-ef7beab0a5263ab0f540d7ef, f-f01ec22fd03331e150621b31, f-f1859cf03ba2dbd467fd4ec8, f-f1f85f542d50b5e56e27a2f9, f-f2c477f3c9bc91e06e1f9309, f-f4daaa727d2dc37b5fb2a1f3, f-fc2c360d00d90bd953fc3015, f-fd145855a4eec6a04b1bd7b6

ru · official · sha256:f21265ede9cf22c201e51c44e5fb00c8c878aa87954341e695a4c1b54de50d30

§4. Умножение столбиком Задача: по двум неотрицательным целым получить запись их произведения. Вариант — сумма частичных произведений: множимое умножается на каждую цифру множителя, частичное произведение сдвигается на вес этой цифры, частичные произведения складываются. Умножение на одну цифру выполняется поразрядно с переносом, который здесь, в отличие от сложения, может быть больше единицы: наибольшее значение произведения цифры на цифру с переносом равно (b − 1)·(b − 1) + (b − 1) = b·b − b − 1, а перенос есть его частное на b, то есть не превосходит b − 2. Опускать эту оценку нельзя: она объясняет, почему в клетке столбика стоит одна цифра, а не две. Сложение частичных произведений выполняется описанием §2 и является вспомогательным алгоритмом, а не частью настоящего. Основание корректности — дистрибутивность умножения относительно сложения и разложение множителя по разрядам. Завершение: число обработанных цифр множителя строго растёт и ограничено длиной его записи. Оценка: при модели «одна операция — одно умножение цифры на цифру» число операций есть произведение длин записей сомножителей.

Ссылаются нормы: f-01d89e02b39b4d90bbf03988, f-0278581c1904b3805af67fdf, f-03cf1c75d1dcfad3ef8109c7, f-05faa35aa5cc15db3b4e0676, f-06d8729afa3356f5dc0e95e2, f-0895c69d26c8fd90500c7d40, f-0abb02960a933bc4f79cef45, f-0c39471f9fa3f02f3899924a, f-0e0b2a2230c046422d0cb1e6, f-0e64e0e91ee0640113fc61db, f-173286713d96642711d62f22, f-1c87bacd65c6222962200d53, f-1e8b80e78179c912fab5b880, f-1fced84352cfce96591c11bb, f-2af37feecbb94f19e17e6494, f-35cac7d561200bfa88a8c2ec, f-361941efc91a6835104caa44, f-36a27c4b77d1d0fb89ceb360, f-36b8ae4408c300f6421aec59, f-370bf9e89669209ff2444ad9, f-37787106233263db9e899266, f-385e62c7c559068c85826b50, f-3a2724ce55372fa7a5649c4c, f-42295fcbde050c63db58bdb2, f-42c1015172310538a7a4d8db, f-44f1d0891d72faf660610608, f-490c07765964617730b1c3c9, f-4e3847fcd324714b30388c91, f-5511ff629885c7320236fecd, f-56ee67e4a82e33dacc3e564f, f-58b78fa5c81f8d1a0fe093fc, f-5b9754d418a4690928d5d08f, f-5dd5fb945ba782300623fac7, f-5ef720c4b659e83105a8c327, f-660aba60951e87623d9a1101, f-66b0b856d0c968ecc453979c, f-6c6a43df27f646d5df1954df, f-6ce06d24aeea6e8ba77296bd, f-707e2cc1abafdb74dd8119e1, f-74b6cdb7106dc9c3b1b5e9f6, f-7ab2456540d5d6b8cfa4b5bc, f-7c95cd2fed7bf07fb6327569, f-80467849e5e8529238a319ff, f-8506489c680d0c0bf0454dcf, f-887078de559fccb3ae534902, f-88cb3ac7180e191c1d32d19b, f-8cc815fac19a89b3c9062d43, f-8e589accbbfaa8ecb23bf76e, f-8f8b267323507cbc92979ea8, f-9113622276a676024d495060, f-92197946e9bf868e64fb2be8, f-937cc8a94bdefc214331c7ab, f-95b9cec363fa0431cd1442ee, f-95babfed05064b041849d942, f-9da5b05bb476b365be2130be, f-9f38426949b95b482e900d27, f-a4ac9395feff3531164077eb, f-a4ecd3cb43ba36fd1ec48fe3, f-a52a0796426a58b4463be715, f-b8f5435879cb407115bea49f, f-bf75523b5c0e32c106789b05, f-c07904a06e53e3984a84bf41, f-c80c158e8fcdff0896f1189e, f-c8388fe551957fbb8c64349b, f-c9a148db9d50645f9fa76947, f-ca610ae423aa4d4bae4ccb1a, f-ca9850d1e1e42d87fd4e7fe1, f-cb4d565074b85113c002f708, f-cc82fec1a240137a69382191, f-cd50b5cf599e1f10ab140fa0, f-ce3e08a7205f3b5f535835ac, f-ceb83bf00586b37dd5b2cdaa, f-cfc0735d2eade990d4d0d3ac, f-d2ea72bf0497d38327765d28, f-d45f25ad8adb56bed5f9bc1e, f-d4ec2524deafa0994050c6f5, f-d7a48211ec44841271094aed, f-de115608191a48076e9e369c, f-dfadef5ef4489704f8a0c24d, f-e3f9ed7e439a2df6308d02ce, f-e62780c97bcaef855a7fe52a, f-e6da954e995fae15630270c2, f-e923c71345207eaef9c7936a, f-e988906f346e0ae78c04e718, f-ec813c047e4caeb84ede2bb7, f-ee4049df48ddff458e3f3e53, f-f0d57274903ecdd5b0b87d8c, f-f151d4f4673e707b7f5d4cc3, f-f2d9de85e0a5d9853ec26174, f-f7a8acae9131210225d984c9, f-fa6309a31a34439c1673b97e, f-fa9d1c8c9fb1180669bcdd19, f-fb88a8c6a44f93e9a2277f2b, f-ff970b2ac09f6748109ff2c2

ru · official · sha256:d72317ffd8db7c0967250966316229fc5797ce8c2a2dbaab09491d3893c4b561

§5. Деление столбиком Задача: по неотрицательному делимому и положительному делителю получить неполное частное и остаток. Вариант — школьный, слева направо, с обработкой КАЖДОГО разряда делимого, включая те, где цифра частного равна нулю. Неполное делимое — число, из которого на текущем шаге вычитается кратное делителя: оно получается приписыванием очередной цифры делимого к остатку предыдущего шага. Цифра частного — наибольшая цифра q, при которой произведение q на делитель не превосходит неполного делимого. Остаток шага — разность неполного делимого и этого произведения. Начальные нулевые цифры частного школьная запись обычно опускает. Настоящее описание их сохраняет: все разряды обрабатываются одинаково, и нули внутри частного не исчезают. Это выбор изложения, названный явно. Основание корректности каждого шага — единственность деления с остатком §1: цифра частного существует и единственна, потому что 0 ≤ остаток < делитель, а неполное делимое меньше b·делитель. Завершение: число обработанных разрядов делимого строго растёт и ограничено длиной его записи. Крайние случаи: нулевой делитель делает задачу неопределённой, и описание отвергает вход; делимое, меньшее делителя, даёт нулевое частное и остаток, равный делимому. Исполнимая реализация этого варианта в репозитории — `calc.long_division`; она считает частное и остаток и проверяет предъявленную ученическую запись. Настоящее описание её не порождает и ею не порождено.

Ссылаются нормы: f-013b3452fb2998a6e39fface, f-06d398b3084386634380f853, f-0a1667b682238d7e844a95e1, f-0a27ae7c379ac3d17a1eb253, f-0f682f7d086451af622891f1, f-1a104761df8874f6f0a13a80, f-1d53547599e4efea338f7d89, f-1ea9c7121632afb62619e59e, f-2011a5bbff8bcbd40cd2ff7c, f-2254b59ceafd8038e409e905, f-25bb565599abbd4bafc8ba49, f-278124f3990ea96ec51df3b5, f-27ce4ef8991069051f603946, f-28fba7cc643a3e7efa72afd2, f-2c4184bac6e945c134a7f29e, f-2cc1889b239afb5e989d44d0, f-2d8adc379ebcf172b5113d64, f-2fb926dfff55081a77f4a285, f-3135753969c2c07c18a3360e, f-32fcc0fc37b8ce7d3bbb1439, f-33d115c828ae589e9041de70, f-36f6ec341572af271ed9e1bf, f-39fb0c16a338fd64d3a5bfdc, f-3a4b3744b91f50700c263357, f-3a803bba72fec3ed7e518cbe, f-3aa20664c57f179d6a2584e2, f-3e35bb46f62f8c689bc0fa53, f-3f97b455df0f2362eae14906, f-414224d148b3620ae9fc45d8, f-42643ecca8ca656f76b4a1a7, f-43c1e52b0d55e184a60f61fe, f-4457bb8380176535b5f8e6d4, f-47227efca61c7077d1c4521d, f-47fe7402f1fad92ef9bc2cd1, f-4b3d2905454aaca3573d6642, f-4b7a30c4cf8a06d66741df60, f-4c70ca66b709c6232f46248a, f-4df604f82e019d65844e1409, f-4e1125f471d870a0031b0bb6, f-4f9ab18dea4bf70d25c1e858, f-4fe44d872e5478883dcd7124, f-52e67d38ae2732c6ee0b8434, f-52e7f4ebd40f45bb0dc71c93, f-5656a5326a1cc03cb4ebf44b, f-5b7091afa101cce8449db818, f-5c255688cc6d2ca219b17a63, f-5f16964912314bcf4d019ac1, f-607a6342e6357b16fbfbbf24, f-60887568758023adea24fa38, f-618ea80d13eaad6a4b873c7d, f-65ecaee1c8366eea1ee2cf6f, f-65ee7a08f68bfe64cad1f377, f-6717cc5fd8816d68dd306fc6, f-6770300459a3dbc41412a8e3, f-69ae3b087b78342561b8e374, f-6a6dee775242fdc412187df2, f-6cbe9c5ff8adb2844cb90894, f-6d299a5305e2ff0da5b034f9, f-6e56778d6a27805769de399c, f-712bd2604809cd23d70452ba, f-71635990a8788a2f1a5dafd9, f-71e21f0aac0889de3a181622, f-74fe4969748b1516a5801fd9, f-781af07c9e92692f5b73757f, f-814bfeca925e916b3d1ea4fd, f-8270169cbd633390f1711365, f-83993d01e65b1ec9c77908dc, f-8a8e335a8c1fe2c7bc7a3740, f-8b310ad7d3ce51b11088b642, f-8de2502bbbd3dc78a2b73f16, f-8fee2504d0849587164f9682, f-91b9e40ca71d611e43e6f3f4, f-96357c91804eccb7964f490a, f-96fef0ba00db0ba42bdb1bdc, f-990dc6240c3d6341659c0bbb, f-9b798785596bc96021b7da2a, f-9b90acb7db4791e4c53235d4, f-9e85b2c9152b1fbc70102d3c, f-a6f94cd23171746e5d7d8540, f-a9ce321ed159451706cad615, f-aa24373f02a9606d94e9a76a, f-aa6c16073160694c85f0d5a7, f-ad77ca1dd56f40f19ea395d9, f-aebdb53d8dbf098fefd9ad13, f-af4908dc153ac0a87694a0b7, f-b2d3afb079b20d77d6d22cff, f-b4af7d9cf18da45f9def1d37, f-b51ab43632df8a7d701ac974, f-b9228f1f07e03e012c72a10f, f-ba4fb48ff65f55209b8b7157, f-bc02bfa7b51c503a43a4cde8, f-bd8cf070a60614f798eab678, f-c1bce0f7988cba5612082bf9, f-c2a3d0e68fb3eb4013f37304, f-c394eab334ffd4825c2ed2be, f-c3d2c6af301fdd27774ede62, f-c89abcbfddff987c74adc8aa, f-c8a23bae88adc590562d9239, f-cd9e90c0fbbc7dd117357f89, f-cf4f9be8f064d937f1b6d91a, f-d3ba371a694032888ac0b0b9, f-d7d5a7352273825f2837d2f8, f-dd0af92912c2422e98c3717c, f-e4297594da3fe1e579479081, f-e5df219f7c2054c5a78a54da, f-e73290a6b1b13efcd4d85131, f-e7988ad19e048313f1d89afe, f-e82641182c0efcda8654f67c, f-e85bf02eb21d296019133e88, f-f052966da11cf5260b2c949b, f-f58d39c426780a672f2f3eb6, f-f5a0420036cfe9b357a2efb8, f-f860abaecced891fc6ac2199, f-fa8ac2f3b1ac88b2401e8ba4, f-fcd808ec51c6708bd63bd851, f-fde1efb74dc679cd2bf33ee2, f-feb2eb2e98d1b530390e3050

ru · official · sha256:c722af22888eca90eca60a88ada3ee8ab3042f9c8422fb3944b9aefd0c16af52

§6. Сокращение дроби Задача: по дроби получить равную ей несократимую дробь того же знака. Вариант — деление числителя и знаменателя на их наибольший общий делитель, вычисленный алгоритмом Евклида. Знак выносится в числитель: знаменатель приводится к положительному умножением обеих частей на минус единицу, если он отрицателен. Затем вычисляется наибольший общий делитель модулей числителя и знаменателя; при нулевом числителе он равен модулю знаменателя, и дробь обращается в нуль целых. Наконец числитель и знаменатель делятся на найденный делитель нацело. Основание корректности: деление числителя и знаменателя на общий делитель даёт равную дробь по определению равенства дробей §1; несократимость получившейся следует из того, что наибольший общий делитель частных равен единице. Завершение: сокращение выполняется однократно, повторения в описании нет; повторяется лишь вспомогательный алгоритм Евклида, и мера убывания принадлежит ему.

Ссылаются нормы: f-0a80cb59feb48d8bb76187b9, f-12716a0f6d836c657d9ed71c, f-135767190ccd58ea80f3b29d, f-15915308ccfe9e33ccec3ca9, f-15b285b41112cb4d858f4f15, f-175ad6d1beac64a5ace1923b, f-1d51209679b38fd843e7b51a, f-1d7c38ca9ba0a4f90c340567, f-1fd14fd22a8832a3566defdb, f-220c063fcd5eb7803e782f51, f-228caa47483bb6e00463216b, f-23343efe1cc279757855136c, f-2728fd4f8517b4e8a5d1f7ed, f-29b6933f34927bd6074ec687, f-2a323349ac1bedd48750eb33, f-2dbae56660270ce6080226f4, f-2f0e724c742d73ada1d485dc, f-304f2867096126860fcddea5, f-313ea442c4f70758c421d2cc, f-342069d3b50d6e5002aa9408, f-35d17fc4305d5b8ce5c732dd, f-36a09e0e58d1be2ec3ef7c76, f-36d5158b7451be14d0ddcd46, f-3931621a163f4d44ffe0f092, f-3f0094bbf413369efab474f7, f-4430eebc2549eaff18b9c8de, f-46693b90aad2d9b8882b124e, f-4c8202d27ebce03f9f889ed5, f-4d79a121d8e1ca2eb2541d40, f-53f5fd1a9dc9caf2aa42e6d7, f-5f824d5c341b85a91e94c7ef, f-60ce7140d0d0c62971305043, f-611fe8775b918e3b8ada0be3, f-629fed3236c8505d38b7ab9e, f-636c7f54f955e45dabea1d28, f-668b40b3e2cc21b5d2458902, f-66bd8c30098a7655e03b2c4c, f-68fc875ffd0876c569282ddb, f-6b05bf12a560b492aee0a306, f-72984f7d3ff6359868c06b9b, f-7626628e806c97f5475fb7aa, f-76c9a2aa776c73169299f0a2, f-77e1ad572f1db4e0c81dd766, f-792b9a968315ff6390e7db94, f-7de8b7f208652232f11ef1c6, f-7f072007ea7fdcf8ff06adee, f-7fe62777d534bca891b67486, f-893fb797f9836f007ff2dd53, f-8a260ddef3bbe0353b20ee03, f-8a6a202d490f0e7d10a91ae7, f-8b24309659259a83874756bc, f-8d1244e840691f06fba42031, f-8eca41250ec1c073319c7a9c, f-90aa656970c090395341763c, f-94fb889ece3f631fb22b3bcc, f-95a168da8ee7f19d16327b88, f-99ad3e4d33e663e6ed83afb1, f-9a397513896dd010b6f05b0a, f-9a720b0d30a84bdc46d1f672, f-9c10165000cf6e7ca8b49e85, f-9d2316a223903898aab7d550, f-a059a7540c2738adbd5714e5, f-a5c145976543b6f2a826f57e, f-a6a1dec8f4be99c8d5395647, f-ac8e6f6d2ba8c23960c7e54a, f-ad53c8145b227aaeb3f42689, f-ad9b9bdead524d9c33134d3e, f-b5760e20c6d5d1bd095b888e, f-ba9d9cdd4e8762da878328a1, f-bdb728c22e719238f04039ff, f-c12fd955135fc66dece28881, f-c13d0f315d9cb459e935fa0b, f-c1754c46337ccea8a3c03eb7, f-c25b948208df7e531d501c45, f-c281181c702845f213506ffe, f-c73c753f8ef2b14375520769, f-c842b005f1f6b09194b0319e, f-c9d445137b393ae1d861988e, f-ca2534460d5e99941d2c64c4, f-ca869dab5d8a445cea239f77, f-cd302ff23cbaf94ced32c837, f-ce5ffa7f978cbb741047471f, f-d5fda72ea0bdc9ab2896bcfa, f-d80fb7541f9e0074c36219cd, f-dcae5e8f54b334292d44a661, f-de64718c9bfbedbaaec6f74f, f-de6c1925de297eaa8f1a2027, f-e0c89c9e4d5bd8b6f1f6b000, f-e1e321258748bb69ae7e3682, f-e60b81cef41316f8e8ac3215, f-e6609cd7e5ab955beee23f75, f-e92eb1028501f3e72cb7fee7, f-ea9779e4839f93a951960059, f-ec17e87aff18c181ece20c88, f-fb9af11d6980d2158360b71b

ru · official · sha256:e238559bd0d58d6371594712ee901158ed5eaad2d18473e2e30c610af8d6e503

§7. Приведение дробей к общему знаменателю Задача: по двум дробям получить две равные им дроби с одинаковым положительным знаменателем. Вариант — наименьший общий знаменатель через наименьшее общее кратное знаменателей. Знаменатели приводятся к положительным. Вычисляется наименьшее общее кратное m знаменателей по равенству НОК(x, y) = x·y / НОД(x, y); порядок действий важен: сначала деление на наибольший общий делитель, затем умножение, иначе произведение переполняется без нужды. Каждая дробь умножается на дополнительный множитель m / знаменатель, взятый нацело. Основание корректности: умножение числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое целое даёт равную дробь. Наименьшее общее кратное делится на каждый знаменатель нацело, поэтому дополнительные множители целы. Вариант с общим знаменателем, равным произведению знаменателей, тоже верен и проще; он не выбран потому, что даёт большие числа и требует последующего сокращения. Расхождение названо здесь явно.

Ссылаются нормы: f-00262af10b23612f4b75bb68, f-021997fbce906f3e81e0d846, f-0361723736ea9ae8439e9fee, f-0417d986d7ff506d32d84041, f-04978f6cc694c8dafe7d49aa, f-0743ec2ccef16f1684c0ad31, f-0800376a7b78ba2709d5850e, f-0b026e5fac0d265dbc67d7c7, f-14e845f5989bdd128bfb54f5, f-17a8b4561669ae02f0d60c97, f-1868e93107d7e726322c8a23, f-1e9e8a613feebb363a7baf22, f-2a0116cdb187a62667a37f80, f-2ed318c2782be0a7c13d0947, f-310202554916225d20518d7b, f-32c84566402579a41d28cc05, f-332f23f5131917f9628716a4, f-3a7020a651fd1eb6a4f2ee58, f-3d17d431790b03aefa033f73, f-3e07e36db84dcaa035368f1d, f-4025cf67e48db61762388e95, f-41d237770c501fcb01e536a9, f-447ca7f23df5bc33b97cdc02, f-453aa7a3f3a16b21ad716328, f-4678b6e1409e0cfb509d305f, f-4900e46d008d9735e6919731, f-4ab23e63067ddea767b433f0, f-4c296eedbb9cf34a58a651dd, f-4ce2a0a1546b65608f9cefbc, f-51eb6b66fbe6dbaa8fdcb3db, f-52b70fee4ec677233ffa6d3b, f-54c482911a696e277019d006, f-57ca57971871337181ea3c30, f-5a0b984fcfb8461a257a3546, f-5bddfe5e90a17fce38e3143c, f-5c6419d062429e1a831e0e4a, f-607bf5d51c96d38b04822cea, f-62919e20922e1cca4ea0c68b, f-67475d0c8ca467586e670920, f-6cf3bfd383f5f760c1a514cb, f-78d1a21d5ec556e576d9c3a3, f-7b49cc084ca3a97753c2bbc3, f-7c08272e2ccb5b519d2325e2, f-7e4722181c0d007e102e5815, f-8723644ee4cb419b46cf2a35, f-8e0be14aa111f2c06077a267, f-90d96f2707233c55598d2923, f-91cd9f72644077ebfe10f6d6, f-936b0efb92b47e3db3b0754e, f-93b11969dbeafd83e60d324a, f-942b01f68f6bef80ad969f44, f-94801533a99237f503788005, f-9772938f5974630131ac0d46, f-a31a60bd5fdd06a81d52ac3a, f-a3d375414b56ed89adaf2102, f-a45802cef785d2f4bb4f854e, f-a56d3fe25812c26fb809c509, f-a611d957fb0ff5cc276bea93, f-a71278d2f4f8c2be56ba6ae4, f-a765eff1e63cd36a78a0cd04, f-a97985c8e0b8768b06ab5332, f-aa0cde65657a2901c24c12ed, f-aa31a07da2fdc5bbf48e2ceb, f-aac56de886aa53a5b1ffeabd, f-acbdc3833197945e9b36c6db, f-afce91c2aae92a01c2bbb5c1, f-b0053f583ef38bc933046f38, f-b2317e57294af52d2347e72d, f-b322299a2b803108b71d4d88, f-b548838d09756effcef8ff7e, f-b6324abd139eb2a93a0370ca, f-b694ded3b77491c464fa6f3e, f-b7a98bf51fe2937e3aa0c692, f-bb1f999ee0a1ef5905db1913, f-bbb320538ecacea9a2bd5e67, f-bd1838aa95364c16af58c280, f-c417a19c47551e5ee15b255d, f-c8a85f1e38576457f86ae328, f-cbc62c225749a3057b39a066, f-ce12f2beda96d1c1c61e968a, f-d1a10b6748fe8b13724af494, f-d1b789e7974b8f76b5175d8c, f-d24133634616bd7000d6026f, f-daa4876d1e8b6cc40ea5418c, f-db11a54c4f9dc298db114c85, f-e09170986ae8e3698246d70b, f-e13f600094305d713af8df5c, f-ee5ffc4ef23d00663fc136f6, f-efd18a9bfd0ce22da5ee4224, f-f1f0e186ab0b748d0bbb7e50, f-f6ed7fb5e4ccdd002fc599d9

ru · official · sha256:e447368158ec7755a4246323a0ea6d97c98b4baca549e792e1d3490f6d4f7678

§8. Сложение обыкновенных дробей Задача: по двум дробям получить их сумму несократимой дробью. Вариант — приведение к общему знаменателю, сложение числителей, сокращение результата. Описание опирается на два вспомогательных алгоритма: приведение к общему знаменателю §7 и сокращение §6. Собственных повторений у него нет. Основание корректности: при равных знаменателях сумма дробей есть дробь с тем же знаменателем и суммой числителей; это определение сложения дробей, а не теорема. Крайний случай: сумма, равная нулю, записывается дробью 0/1 — знаменатель единица, а не сохранённый общий знаменатель. Условие названо потому, что «сокращённая» запись нуля неоднозначна без него.

Ссылаются нормы: f-0834c0f9737d08f21f381eb0, f-0d6692fbf7d36c63d615db4c, f-10702b0d53c6827de1abab7c, f-10941097c4fbd8f5d45d8ebe, f-1e7c4c354c344e46815438a7, f-2089c756cd769dd2273ad23d, f-32df44c4614201542a064644, f-3f2cedeb4ed813ce0e89c8ef, f-4232575e9807d209c122dc26, f-479dfa1a513e994858bdb879, f-4924c6ff81a17def6bf7d4ad, f-4ba889ed1efc3678f59bb681, f-4c02746b6695506f0f423c3b, f-4e0e8f9cef0a5a5130ca5603, f-4fab9da065f28d0d63cc1de4, f-548fb54b80a888acefa40f4a, f-54c29bf7beef27e95c768a19, f-55436455c4de49cd901a7612, f-57228a1952dcb6c798b36045, f-5dce1015bba73269f714ca1c, f-6400faf3613efe3c855e56dd, f-64a0f85b179438a1175c52a0, f-656858b5db51795941b2c235, f-67c1498b928e26274ca691d7, f-70137c30515abde0b2766586, f-70506a525301664ffa4f36a0, f-711d443b6c38295f5082c6f0, f-7201f2db4530ab1098e90bb6, f-7894bfc2f0bdd402f8d6fd82, f-7ba47ff47ee8e909ef451e13, f-7dfbc76628a7253559474d94, f-811e0eef8a3fedf43615ee57, f-8187a94504efa18d65b44e7f, f-82d1e93169e94f6f191f8051, f-867c48843f9598e5dc81105f, f-8820070741e81c6a15361439, f-8d84a3db71e3cdc6f8cf1c8a, f-90991a21e557373d98384f17, f-96f3a35658ba88a9359934dd, f-9829d444da744d0489c07e70, f-9851ac890abc8057dffb7272, f-987d88c561ae1faa4d255899, f-9d82e79d8d83e7f4223cca5f, f-a2ecc5f3fafc3c6e9695d84c, f-a426881afd364509eec1942f, f-a4c6c7f7666fd7cc4df1e84c, f-a7817fb454b1b5e6cc7d1d02, f-ac93f319b6617c463a608bbc, f-ad34d8d3fc06371096508274, f-adb10341ee48f82265be358b, f-b168d57cd4f00169299f908f, f-b4a76776610d078c67bb111e, f-b9baa8ea96e136ddae388fff, f-bb9399e47db0769ca74b98ae, f-c0a2fac8c7c915313b38547a, f-c7b31e3f757da8d655d24b0e, f-ccf7f718d9117b93af6fd9a3, f-ce234332eca1703d0ad6376d, f-d5b4fef0f206866a4427ba0b, f-d905218c8cebdbc472308bfb, f-dca8a29283e02e89cf022f55, f-de8fa65452f47f2369befd9f, f-df32c4eff8d4cccf32a9a94f, f-e17cd60cde1f41cb1ccf2e96, f-e32546f720c04752d94076aa, f-e3607e844df4c0a2ae883645, f-e80f08d19aefe4156a4d28b3, f-eaa7bc574de14132399103c6, f-eb89c20dc93af678e4d5ec7f, f-f09633a4602c8711f1ec6a43, f-f1f9251918a48f0f425ad9d1, f-f924361833a132cb7d9d0001, f-faa803fcacf73df1199aff30, f-fbd4dc38a05e563e0dfe9d17, f-fe5e6123ba4a1623f76ae16c

ru · official · sha256:9b87d60ec44b6eaa74f700f71694f8f5ed531ffd5c4f77a49e418826d49f264c

§9. Вычитание обыкновенных дробей Задача: по двум дробям получить их разность несократимой дробью. Вариант — приведение к общему знаменателю, вычитание числителей, сокращение результата. Отличие от §8 состоит в одном шаге: числители вычитаются, а не складываются, и результат может оказаться отрицательным. Отрицательность разности не есть ошибка: знак остаётся в числителе, знаменатель положителен. Основание корректности то же, что у сложения, с определением вычитания дробей при равных знаменателях.

Ссылаются нормы: f-138bc74565cacea7c17062ae, f-14282e509e2ad8d796e33275, f-183060a3417d3de4596b01e2, f-1a63cded7de32d970fcbc896, f-1d11d924f6d68ebc7e31e94c, f-1dfe4e8b4fc2faffc112e938, f-1ee2ae598a1591eb722521b9, f-201931e1c45993c330cc375a, f-2073170c99ceafdd7f3783a3, f-2881768a55f0daee97bda598, f-2c75bbd07ca24f7fb8bc01cc, f-2e871fe10187310dd90e4351, f-3511f23c6b20a9c923a2ddb0, f-352313401b875cfd0d8b6d9d, f-36d443075c4cf656e434dafc, f-3bca97c0a3710e37af6618f0, f-3cb0633879d0a98a2f6a58ee, f-45ec350caecc201fbc5943f7, f-48386d9bd4f3598058e19bda, f-5280c35d14714d5d921e29e0, f-5d393368b240d474370beca4, f-63ccbef7195b4bce5306526e, f-67c047b71cb98c96391ec8e1, f-689be37ef31fd0d53dc422b6, f-694e088ec10a45de1daf2a8f, f-6ca27ad5a9b3bfe92fd2b0a1, f-7256e4bf5850edd427218be4, f-7776eb1b457dd26af7234c6c, f-77f803473965ee6c42ceeab5, f-7873d5b107957780652844ce, f-7bc063016199a1a3753b9651, f-817478f40403975fa547e8c1, f-8481711756f668912da32c56, f-890a8b1feea0809757c059e5, f-8a939424caafd6bd3cd7d2cb, f-8f8013a163c19dd737ef4de2, f-91447b18bf098688983e7660, f-93b6e951e91c4a4fc784c707, f-9578210840ec72b04842860f, f-9761b69007ae50eab9ab3d61, f-98b21fe0d0e73d1932d23c48, f-9a6901f0b047ab1f75106f28, f-9ecfc5c8a7de09c7b7fcb19a, f-a0f8708e18f99a6a4227b7da, f-a2c7db5ec98956161091ba97, f-a4b299f279ed0830992174f2, f-a9c76df333e8b243edc9f57a, f-abab2c0513a953e86be2d257, f-ac6024e9a5f4c0398ea1f880, f-ad70bb43d3e40bf8f09dbb7d, f-ae835c31fa8292eba0bab7d7, f-af9ca6bfaab87cd6996d883b, f-b12f858ef8e90258cb005e64, f-b30225bcf7464b52b705a3bc, f-b3b82edeb2ddc4da93c03ace, f-b62f346705949257d83c3b76, f-b9678b2710722cf72e0fe026, f-c6f58efc3f2b87b2f9a209c5, f-ca60689b216012b1165292e5, f-ca794285b9ff21760546e476, f-cbb4ec822743e60e14cf6f6c, f-dcd963af49041c637d71e13d, f-e0a859a5e794cb1b15b77b90, f-e5303984dd050c56222ea3f0, f-e628637345e85ae67b901276, f-e70ba17b1788bb2057748ba9, f-e72cd9258758a12f71a2eb5d, f-e7cb8007e56d7913873a1e68, f-f07d39c7436dae170d460879, f-f7b1818df07aca537b9515a0, f-f98bd94eb38548c3b70aac1c, f-f99d24f19c477c5acfeb306a, f-fa00658a5cc780cdc90a8390, f-ffb50fa41ed993304cde5938, f-ffebe02033b57c8d762467b3

ru · official · sha256:aa18c049531771e910b7d7275bdd2c87bf806e08306e0904406c11989e76060c

ШКОЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА: ДЕЙСТВИЯ СТОЛБИКОМ, ДРОБИ И СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Настоящий документ является АВТОРСКИМ ИЗЛОЖЕНИЕМ, составленным для целей формализации. Он описывает устройство двенадцати школьных алгоритмов: четырёх действий столбиком над целыми числами, сокращения дробей, приведения к общему знаменателю, четырёх действий над обыкновенными дробями и двух переводов целого числа между позиционными системами счисления. Изложение не воспроизводит ни один учебник. Алгоритмы столбиком принадлежат вычислительной традиции и общеизвестны; их происхождение названо при каждом описании локатором, байты первых публикаций не закрепляются. Формулировка шагов, их нумерация и выбор варианта принадлежат настоящему изложению. Изложение описывает, КАК устроено действие, и не выполняет его. Ответ на вопрос «сколько будет 156 ÷ 12» даёт исполнимый вычислитель `calc.long_division`; ответ на вопрос «как устроено деление столбиком» даёт настоящее описание, и второе не требует первого. Всюду ниже основание системы счисления обозначается через b, а «цифра» означает целое от 0 до b − 1. Школьное умолчание b = 10 не встроено: оно названо параметром, потому что §12 и §13 работают при любом b ≥ 2.